a)

Skoro mamy wybrać trzy cienkopisy tak, aby każdy z nich był innego koloru to znaczy, że mamy wybrać po jednym cienkopisie w każdym z kolorów. 

Obliczamy na ile sposobów można wybrać 1 z 5 zielonych cienkopisów 

• $\left(\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right)=5$  

Obliczamy na ile sposobów można wybrać 1 z 4 czarnych cienkopisów 

• $\left(\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right)=4$  

Obliczamy na ile sposobów można wybrać 1 z 6 niebieskich cienkopisów 

• $\left(\begin{array}{c}6\\ 1\end{array}\right)=6$

Korzystając z reguły mnożenia dostajemy, że trzy cienkopisy różnego koloru można wybrać na 

$\left(\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 1\end{array}\right)=5\cdot 4\cdot 6=120$  

sposobów. 

---

b)

Rozważmy przypadki:

1) Wybrano 3 zielone cienkopisy. 

Obliczamy na ile sposobów można wybrać trzy spośród pięciu zielonych cienkopisów (kolejność wyboru nie jest istotna)

• $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)=\frac{5!}{3!\cdot \left(5-3\right)!}=\frac{5!}{3!\cdot 2!}=\frac{{\sout{3!}}^1\cdot 4\cdot 5}{{\sout{3!}}_1\cdot 2}=10$  

2) Wybrano 3 czarne cienkopisy. 

Obliczamy na ile sposobów można wybrać trzy spośród czterech czarnych cienkopisów (kolejność wyboru nie jest istotna)

• $\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)=\frac{4!}{3!\cdot \left(4-3\right)!}=\frac{4!}{3!\cdot 1!}=\frac{3!\cdot 4}{3!}=4$  

3) Wybrano 3 niebieskie cienkopisy. 

Obliczamy na ile sposobów można wybrać trzy spośród sześciu niebieskich cienkopisów (kolejność wyboru nie jest istotna)

• $\left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)=\frac{6!}{3!\cdot \left(6-3\right)!}=\frac{6!}{3!\cdot 3!}=\frac{{\sout{3!}}^1\cdot 4\cdot 5\cdot 6}{{\sout{3!}}_1\cdot 1\cdot 2\cdot 3}=20$  

Korzystając z reguły dodawania z przypadków 1), 2) i 3) dostajemy, że trzy cienkopisy tego samego koloru możemy wybrać na 

$\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)=10+4+20=34$  

sposoby. 

---

c)

Rozważmy przypadki:

1) Wybrano 2 zielone cienkopisy i 1 cienkopis w innym kolorze. 

Obliczamy na ile sposobów możemy wybrać dwa spośród pięciu zielonych cienkopisów (kolejność wyboru nie jest istotna)

$\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)=\frac{5!}{2!\cdot \left(5-2\right)!}=\frac{5!}{2!\cdot 3!}=\frac{{\sout{3!}}^1\cdot 4\cdot 5}{2\cdot {\sout{3!}}_1}=10$  

Czarnych i niebieskich cienkopisów jest łącznie 4+6=10. 

Obliczamy na ile sposobów możemy wybrać jeden cienkopis w czarnym lub niebieskim kolorze:

$\left(\begin{array}{c}10\\ 1\end{array}\right)=10$  

Korzystając z reguły mnożenia dostajemy, że 2 cienkopisy zielone i 1 cienkopis w innym kolorze możemy wybrać na 

• $\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}10\\ 1\end{array}\right)=10\cdot 10=100$  

sposobów. 

2) Wybrano 2 czarne cienkopisy i 1 cienkopis w innym kolorze. 

Obliczamy na ile sposobów możemy wybrać dwa spośród czterech czarnych cienkopisów (kolejność wyboru nie jest istotna)

$\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)=\frac{4!}{2!\cdot \left(4-2\right)!}=\frac{4!}{2!\cdot 2!}=\frac{{\sout{2!}}^1\cdot 3\cdot 4}{2\cdot {\sout{2!}}_1}=6$  

Zielonych i niebieskich cienkopisów jest łącznie 5+6=11. 

Obliczamy na ile sposobów możemy wybrać jeden cienkopis w zielonym lub niebieskim kolorze:

$\left(\begin{array}{c}11\\ 1\end{array}\right)=11$  

Korzystając z reguły mnożenia dostajemy, że 2 cienkopisy czarne i 1 cienkopis w innym kolorze możemy wybrać na 

• $\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}11\\ 1\end{array}\right)=6\cdot 11=66$  

sposobów. 

3) Wybrano 2 niebieskie cienkopisy i 1 cienkopis w innym kolorze. 

Obliczamy na ile sposobów możemy wybrać dwa spośród sześciu niebieskich cienkopisów (kolejność wyboru nie jest istotna)

$\left(\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right)=\frac{6!}{2!\cdot \left(6-2\right)!}=\frac{6!}{2\cdot 4!}=\frac{{\sout{4!}}^1\cdot 5\cdot 6}{2\cdot {\sout{4!}}_1}=15$  

Zielonych i czarnych cienkopisów jest łącznie 5+4=9. 

Obliczamy na ile sposobów możemy wybrać jeden cienkopis w zielonym lub czarnym kolorze:

$\left(\begin{array}{c}9\\ 1\end{array}\right)=9$  

Korzystając z reguły mnożenia dostajemy, że 2 cienkopisy niebieskie i 1 cienkopis w innym kolorze możemy wybrać na 

• $\left(\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}9\\ 1\end{array}\right)=15\cdot 9=135$  

Korzystając z reguły dodawania z przypadków 1), 2) i 3) dostajemy, że trzy cienkopisy z których dwa są w tym samym kolorze można wybrać na 

$\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}10\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}11\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}9\\ 1\end{array}\right)=100+66+135=301$  

sposobów.