Kombinacją k-elementową bez powtórzeń zbioru n-elementowego zbioru A, gdzie k ∈ N, n ∈ N, k ≤ n, nazywamy każdy k-elementowy podzbiór zbioru A, przy czym elementy zbioru A nie mogą się powtarzać.  Liczba k-elementowych kombinacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego jest równa  $\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)=\frac{n!}{k!\cdot \left(n-k\right)!},\text{gdzie}k\in \mathbb{N},n\in \mathbb{N},k\le n$

---

Oznaczmy przez n liczbę elementów pewnego zbioru A (n ∈ N₊). 

Zauważmy, że rozważamy co najwyżej dwuelementowe podzbiory zbioru A, wśród których znajdują się:

• zbiór pusty, który jest podzbiorem każdego zbioru;
  
  
• n podzbiorów jednoelementowych;
  
  
• podzbiory dwuelementowe, których łączna liczba jest równa liczbie dwuelementowych kombinacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego czyli 

$\left(\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right)=\frac{n!}{2!\cdot \left(n-2\right)!}=\frac{{\sout{\left(n-2\right)!}}^1\left(n-1\right)n}{2\cdot {\sout{\left(n-2\right)!}}_1}=\frac{n^2-n}{2}$  

---

Wiadomo, że zbiór A ma 211 co najwyżej dwuelementowych podzbiorów. 

Zatem dostajemy, ze 

$1+n+\frac{n^2-n}{2}=211$  

$n+\frac{n^2-n}{2}=210\mid \cdot 2$  

$2n+n^2-n=420$  

$n^2+n-420=0$  

$\Delta =1^2-4\cdot 1\cdot \left(-420\right)=1+1680=1681$

$\sqrt{\Delta }=41$  

$n_1=\frac{-1-41}{2}=-21\notin {\mathbb{N}}_{+}$  

$n_2=\frac{-1+41}{2}=20\in {\mathbb{N}}_{+}$   

czyli 

$n=20$  

 

Odp. Ten zbiór ma 20 elementów.