Jeśli (an) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q, gdzie q ≠ 0, to                                                    $a_n=a_1\cdot q^{n-1},n\in {\mathbb{N}}_{+}$

---

a)

$a_7=-510,3$  

$q=-3$  

Korzystając ze wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego dostajemy 

$a_7=a_1\cdot q^{7-1}$  

$-510,3=a_1\cdot {\left(-3\right)}^6$  

$-510,3=a_1\cdot 729\mid :729$  

$-0,7=a_1$  

Odp. a₁ = -0,7.

---

b)

$a_4=-4\left(\sqrt{3}+2\right)$  

$q=\sqrt{3}+1$  

Korzystając ze wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego dostajemy 

$a_4=a_1\cdot q^{4-1}$  

$-4\left(\sqrt{3}+2\right)=a_1\cdot {\left(\sqrt{3}+1\right)}^3$  

$-4\left(\sqrt{3}+2\right)=a_1\cdot \left({\sqrt{3}}^3+3\cdot {\sqrt{3}}^2\cdot 1+3\cdot \sqrt{3}\cdot 1+1\right)$  

$-4\left(\sqrt{3}+2\right)=a_1\cdot \left(3\sqrt{3}+9+3\sqrt{3}+1\right)$  

$-4\left(\sqrt{3}+2\right)=a_1\cdot \left(6\sqrt{3}+10\right)\mid :\left(6\sqrt{3}+10\right)$  

$\frac{-4\left(\sqrt{3}+2\right)}{6\sqrt{3}+10}=a_1$  

usuwając niewymierność z mianownika ułamka mamy 

$a_1=\frac{-4\left(\sqrt{3}+2\right)}{2\left(3\sqrt{3}+5\right)}=\frac{-2\left(\sqrt{3}+2\right)}{3\sqrt{3}+5}\cdot \frac{3\sqrt{3}-5}{3\sqrt{3}-5}=$  

$=\frac{-2\left(\sqrt{3}+2\right)\left(3\sqrt{3}-5\right)}{{\left(3\sqrt{3}\right)}^2-5^2}=\frac{-2\left(9-5\sqrt{3}+6\sqrt{3}-10\right)}{27-25}=$  

$=\frac{-2\left(\sqrt{3}-1\right)}{2}=-\left(\sqrt{3}-1\right)=1-\sqrt{3}$  

Odp. a₁ = 1- √3.