Zauważmy, że aby punkt P był równoodległy od punktów A(3,-2) i B(7,2), to musi leżeć na symetralnej odcinka AB. 

---

Wyznaczamy równanie symetralnej

$y=ax+b$  

odcinka AB. 

Wyznaczamy współrzędne środka S odcinka AB:

$S=\left(\frac{3+7}{2},\frac{-2+2}{2}\right)=\left(5,0\right)$  

Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej AB:

$a_{AB}=\frac{2-\left(-2\right)}{7-3}=\frac{4}{4}=1$  

Symetralna odcinka AB to prosta prostopadła do prostej AB przechodząca przez punkt S. 

Z warunku na prostopadłość dwóch prostych mamy 

$a\cdot a_{AB}=-1$  

$a\cdot 1=-1$  

$a=-1$  

czyli równanie symetralnej jest postaci 

$y=-x+b$  

Do wykresu tej prostej należy punkt S(0,5), czyli 

$0=-5+b$  

$5=b$  

więc ostatecznie 

$y=-x+5$

---

Punkt P leży na prostej k: x-2y+7=0 oraz na symetralnej odcinka AB. 

Współrzędne tego punktu wyznaczymy rozwiązując układ równań 

$\{\begin{array}{l}x-2y+7=0\\ y=-x+5\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x-2\left(-x+5\right)+7=0\\ y=-x+5\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x+2x-10+7=0\\ y=-x+5\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}3x=3\mid :3\\ y=-x+5\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-1+5=4\end{array}$  

czyli 

$\underline{\underline{P\left(1,4\right)}}$