a)

Rozważmy punkty np. A(0,0) i B(1,1). 

Wtedy 

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(1-0\right)}^2+{\left(1-0\right)}^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$  

Wyznaczamy obrazy tych punktów w przekształceniu P:

$A_1=\left(-2y_A,x_A+2\right)=\left(-2\cdot 0,0+2\right)=\left(0,2\right)$  

$B_1=\left(-2y_B,x_B+2\right)=\left(-2\cdot 1,1+2\right)=\left(-2,3\right)$  

Wtedy 

$\left|A_1{B}_1\right|=\sqrt{{\left(-2-0\right)}^2+{\left(3-2\right)}^2}=\sqrt{{\left(-2\right)}^2+1^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$  

Otrzymaliśmy więc, że 

$\sqrt{2}\ne \sqrt{5}$  

czyli

$\left|AB\right|\ne \left|A_1{B}_1\right|$  

tym samym przekształcenie P nie jest izometrią ponieważ wskazaliśmy dwa punkty, dla których odległość między tymi punktami i między obrazami tych punktów w przekształceniu P jest różna. 

c.n.d.

---

b)

I. Wyznaczamy dwa dowolne punkty leżące na prostej k.

Dla x = 0 mamy y = 3. 

Dla x = 1 mamy y=-1+3=2.

Zatem do wykresu prostej k należą punkty 

$A=\left(0,3\right)$

$B=\left(1,2\right)$      

II. Wyznaczamy obrazy punktów A i B w przekształceniu P.   

Mamy 

$A_1=\left(-2y_A,x_A+2\right)=\left(-2\cdot 3,0+2\right)=\left(-6,2\right)$  

$B_1=\left(-2y_B,x_B+2\right)=\left(-2\cdot 2,1+2\right)=\left(-4,3\right)$  

III. Wyznaczamy równanie prostej l.

Do wykresu prostej l należą punkty A₁ i B₁.

Współczynnik kierunkowy tej prostej jest równy 

$a=\frac{3-2}{-4-\left(-6\right)}=\frac{1}{-4+6}=\frac{1}{2}$  

czyli ta prosta jest postaci 

$y=\frac{1}{2}x+b$  

Do wykresu tej prostej należy punkt A₁(-6,2), czyli możemy zapisać 

$2=\frac{1}{2}\cdot \left(-6\right)+b\Rightarrow 2=-3+b\Rightarrow b=5$  

zatem ostatecznie mamy 

$l:y=\frac{1}{2}x+5$  

przekształcając równanie prostej do postaci ogólnej dostajemy 

$\frac{1}{2}x-y+5=0\mid \cdot 2$  

$\underline{\underline{x-2y+10=0}}$