Funkcja  $f:\left(a,b\right)\to \mathbb{R}$   jest ciągła w punkcie x0 ∈ (a,b) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje granica $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)$   oraz $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=f\left(x_0\right)$

Granica w punkcie istnieje, gdy

$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f\left(x\right)$  

---

a) Liczymy jednostronne granice

$\underset{x\to -2^{+}}{\lim }\left(-x-9\right)=2-9=-7$  

$\underset{x\to -2^{-}}{\lim }\left(2x-3\right)=-4-3=-7$  

Są sobie równe, zatem istnieje granica w punkcie. Wartość funkcji w punkcie

$f\left(x_0\right)=f\left(-2\right)=2-9=-7$  

Stąd

$\underset{x\to -2}{\lim }f\left(x\right)=f\left(-2\right)$  

Funkcja jest ciągła w x₀ = -2. W pozostałych punktach jako funkcja elementarna również jest ciągła, zatem jest ciągła na R.

---

b) Liczymy jednostronne granice

$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }2x=2\cdot 1=2$  

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(3-x\right)=3-1=2$

Są sobie równe, zatem istnieje granica w punkcie. Wartość funkcji w punkcie

$f\left(x_0\right)=f\left(1\right)=2$  

Stąd

$\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)=f\left(1\right)$  

Funkcja jest ciągła w x₀ = 1. W pozostałych punktach jako funkcja elementarna również jest ciągła, zatem jest ciągła na R.

---

c) Liczymy jednostronne granice

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(5x+1\right)=1$  

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(-3x+1\right)=1$

Są sobie równe, zatem istnieje granica w punkcie. Wartość funkcji w punkcie

$f\left(x_0\right)=f\left(0\right)=1$  

Stąd

$\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=f\left(0\right)$  

Funkcja jest ciągła w x₀ = 0.

Liczymy jednostronne granice

$\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\left(10x-16\right)=30-16=14$  

$\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\left(5x+1\right)=15+1=16$

Nie są sobie równe, zatem nie istnieje granica w punkcie. Funkcja nie jest ciągła w x₀ = 3.

W pozostałych punktach jako funkcja elementarna jest ciągła.

---

d) Liczymy jednostronne granice

$\underset{x\to 2{\sqrt{2}}^{+}}{\lim }\left(\left(x+2\right)\left|x-4\right|\right)=\left(2\sqrt{2}+2\right)\left|2\sqrt{2}-4\right|=\left(2\sqrt{2}+2\right)\cdot \left(4-2\sqrt{2}\right)=8\sqrt{2}+8-8-4\sqrt{2}=4\sqrt{2}$  

$\underset{x\to 2{\sqrt{2}}^{-}}{\lim }\left(\left(x-2\right)\left|x+4\right|\right)=\left(2\sqrt{2}-2\right)\cdot \left(2\sqrt{2}+4\right)=8-4\sqrt{2}+8\sqrt{2}-8=4\sqrt{2}$

Są sobie równe, zatem istnieje granica w punkcie. Wartość funkcji w punkcie

$f\left(x_0\right)=f\left(2\sqrt{2}\right)=\left(2\sqrt{2}-2\right)\cdot \left(2\sqrt{2}+4\right)=8-4\sqrt{2}+8\sqrt{2}-8=4\sqrt{2}$  

Stąd

$\underset{x\to 2\sqrt{2}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(2\sqrt{2}\right)$  

Funkcja jest ciągła w x₀ = 2√2. W pozostałych punktach jako funkcja elementarna również jest ciągła, zatem jest ciągła na R.