a) Obliczmy pochodną

$f{}^{\prime }\left(x\right)=3x^2-4kx+k$  

Rozwiązujemy równanie

$f{}^{\prime }\left(x\right)=0$  

$3x^2-4kx+k=0$  

$\Delta ={\left(-4k\right)}^2-4\cdot 3\cdot k=16k^2-12k$  

Jest to równanie kwadratowe, aby pochodna zmieniała znak muszą istnieć dwa pierwiastki, stąd

$\Delta >0$

$16k^2-12k>0\mid :4$  

$4k^2-3k>0$  

$k\left(4k-3\right)>0$  

$k=0\vee k=\frac{3}{4}$  

Dla

$k\in \left(-\infty ,0\right)\cup \left(\frac{3}{4},+\infty \right)$

istnieje jedno minimum i jedno maksimum lokalne.

Dla

$k\in ⟨0,\frac{3}{4}⟩$

brak ekstremów.

---

b) Obliczmy pochodną

$f{}^{\prime }\left(x\right)=4x^3-2kx$  

Rozwiązujemy równanie

$f{}^{\prime }\left(x\right)=0$  

$4x^3-2kx=0$  

$2x\left(2x^2-k\right)=0$  

$2x=0\vee 2x^2-k=0$  

$x=0\vee x^2=\frac{1}{2}k$  

Rozważmy drugie równanie.

Jeśli k > 0 to równanie ma dwa rozwiązania.

Jeśli k = 0  to równanie ma jedno rozwiązanie: x = 0.

Jeśli k < 0  to równanie nie ma rozwiązań.

Stąd dla

$k\in \left(0,+\infty \right)$

mamy dwa minima lokalne, jedno maksimum.

Dla

$k\in (-\infty ,0⟩$

istnieje jedno minimum lokalne.