Dziedziną funkcji jest zbiór

${\mathbb{D}}_f=\mathbb{R}\backslash \left\{-1,1\right\}$  

W zależności od przedziału będziemy mieć inną postać funkcji. Podzielmy rozważania na cztery części

$1.x\in \left(-\infty ,-1\right)$  

$f\left(x\right)=\frac{-x-1,25}{x^2-1}$  

Obliczmy pochodną

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{-\left(x^2-1\right)-\left(-x-1,25\right)\cdot 2x}{{\left(x^2-1\right)}^2}=\frac{-x^2+1+2x^2+2,5x}{{\left(x^2-1\right)}^2}=\frac{x^2+2,5x+1}{{\left(x^2-1\right)}^2}$  

Rozwiązujemy równanie

$f{}^{\prime }\left(x\right)=0$  

$\frac{x^2+2,5x+1}{{\left(x^2-1\right)}^2}=0$  

$x^2+2,5x+1=0$  

$\Delta ={\left(2,5\right)}^2-4\cdot 1\cdot 1=6,25-4=2,25,\sqrt{\Delta }=1,5$  

$x=\frac{-2,5-1,5}{2}=-2\vee x=\frac{-2,5+1,5}{2}=-\frac{1}{2}\notin \left(-\infty ,-1\right)$  

Naszkicujmy wykres pomocniczy, aby zbadać znak

Zauważmy, że pochodna zmienia znak. Na podstawie rysunku wnioskujemy, że mamy

- Maksimum lokalne w  x = -2

$f\left(-2\right)=\frac{1}{4}$

---

$2.x\in \left(-1,0\right)$  

$f\left(x\right)=\frac{-x-1,25}{-\left(x^2-1\right)}$  

Obliczmy pochodną

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{x^2-1-\left(-x-1,25\right)\cdot \left(-2x\right)}{{\left(-\left(x^2-1\right)\right)}^2}=\frac{x^2-1-2x^2-2,5x}{{\left(x^2-1\right)}^2}=\frac{-x^2-2,5x-1}{{\left(x^2-1\right)}^2}$  

Rozwiązujemy równanie

$f{}^{\prime }\left(x\right)=0$  

$\frac{-x^2-2,5x-1}{{\left(x^2-1\right)}^2}=0$  

$-x^2-2,5x-1=0$  

$\Delta ={\left(-2,5\right)}^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot \left(-1\right)=6,25-4=2,25,\sqrt{\Delta }=1,5$  

$x=\frac{2,5-1,5}{-2}=-\frac{1}{2}\vee x=\frac{2,5+1,5}{-2}=-2\notin \left(-1,0\right)$  

Naszkicujmy wykres pomocniczy, aby zbadać znak

Zauważmy, że pochodna zmienia znak. Na podstawie rysunku wnioskujemy, że mamy

- Maksimum lokalne w  x = - ¹/₂

$f\left(-\frac{1}{2}\right)=-1$

---

$3.x\in ⟨0,1)$  

$f\left(x\right)=\frac{x-1,25}{-\left(x^2-1\right)}$  

Obliczmy pochodną

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{-x^2+1-\left(x-1,25\right)\cdot \left(-2x\right)}{{\left(-\left(x^2-1\right)\right)}^2}=\frac{-x^2+1+2x^2-2,5x}{{\left(x^2-1\right)}^2}=\frac{x^2-2,5x+1}{{\left(x^2-1\right)}^2}$  

Rozwiązujemy równanie

$f{}^{\prime }\left(x\right)=0$  

$\frac{x^2-2,5x+1}{{\left(x^2-1\right)}^2}=0$  

$x^2-2,5x+1=0$  

$\Delta ={\left(-2,5\right)}^2-4\cdot 1\cdot 1=6,25-4=2,25,\sqrt{\Delta }=1,5$  

$x=\frac{2,5-1,5}{2}=\frac{1}{2}\vee x=\frac{2,5+1,5}{2}=2\notin ⟨0,1)$  

Naszkicujmy wykres pomocniczy, aby zbadać znak

Zauważmy, że pochodna zmienia znak. Stąd mamy

- Maksimum lokalne w  x =  ¹/₂

$f\left(\frac{1}{2}\right)=-1$

(Można to także wywnioskować z symetrii)

---

$4.x\in \left(1,+\infty \right)$  

$f\left(x\right)=\frac{x-1,25}{x^2-1}$  

Obliczmy pochodną

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{x^2-1-\left(x-1,25\right)\cdot 2x}{{\left(x^2-1\right)}^2}=\frac{x^2-1-2x^2+2,5x}{{\left(x^2-1\right)}^2}=\frac{-x^2+2,5x-1}{{\left(x^2-1\right)}^2}$  

Rozwiązujemy równanie

$f{}^{\prime }\left(x\right)=0$  

$\frac{-x^2+2,5x-1}{{\left(x^2-1\right)}^2}=0$  

$-x^2+2,5x-1=0$  

$\Delta ={\left(2,5\right)}^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot \left(-1\right)=6,25-4=2,25,\sqrt{\Delta }=1,5$  

$x=\frac{-2,5-1,5}{-2}=2\vee x=\frac{-2,5+1,5}{-2}=\frac{1}{2}\notin \left(1,+\infty \right)$  

Naszkicujmy wykres pomocniczy, aby zbadać znak

Zauważmy, pochodna zmienia znak. Stąd mamy

- Maksimum lokalne w  x = 2

$f\left(2\right)=\frac{1}{4}$

(Można to także wywnioskować z symetrii)

---

Z rysunku możemy także zauważyć, że w x = 0 mamy minimum lokale

$f\left(0\right)=-\frac{5}{4}$