Warunek wystarczający (dostateczny) istnienia ekstremum.

1. Jeżeli funkcja f(x) ma pochodną w przedziale (a, b) oraz $f{}^{\prime }\left(x\right)>0\text{ dla }x\in \left(a,x_0\right)\text{ i }f{}^{\prime }\left(x\right)<0\text{ dla }x\in \left(x_0,b\right),$   to f ma w punkcie x0 maksimum. 2. Jeżeli funkcja f(x) ma pochodną w przedziale (a, b) oraz $f{}^{\prime }\left(x\right)<0\text{ dla }x\in \left(a,x_0\right)\text{ i }f{}^{\prime }\left(x\right)>0\text{ dla }x\in \left(x_0,b\right),$   to f ma w punkcie x0 minimum.

---

a) Mamy

$3x^2-6x+7\ge 0$

$\Delta ={\left(-6\right)}^2-4\cdot 3\cdot 7=36-84=-48<0$   

Zatem

${\mathbb{D}}_f=\mathbb{R}$  

Obliczmy pochodną

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{3x^2-6x+7}}\cdot \left(6x-6\right)=\frac{3x-3}{\sqrt{3x^2-6x+7}}$  

Szukamy miejsc zerowych pochodnej

$f{}^{\prime }\left(x\right)=0$

$\frac{3x-3}{\sqrt{3x^2-6x+7}}=0$

Wiemy, że

$\sqrt{3x^2-6x+7}>0$  

Stąd równanie

$3x-3=0$  

$x=1$  

Wykres pomocniczy

Odczytujemy z wykresu, że

$f{}^{\prime }\left(x\right)>0\text{ dla }x\in \left(1,+\infty \right)$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)<0\text{ dla }x\in \left(-\infty ,1\right)$  

Pochodna zmienia znak w punkcie x = 1, zatem jest tam ekstremum.

- Minimum lokalne w x = 1

$f\left(1\right)=2$  

---

b) Mamy