Warunek wystarczający (dostateczny) istnienia ekstremum.

1. Jeżeli funkcja f(x) ma pochodną w przedziale (a, b) oraz $f{}^{\prime }\left(x\right)>0\text{ dla }x\in \left(a,x_0\right)\text{ i }f{}^{\prime }\left(x\right)<0\text{ dla }x\in \left(x_0,b\right),$   to f ma w punkcie x0 maksimum. 2. Jeżeli funkcja f(x) ma pochodną w przedziale (a, b) oraz $f{}^{\prime }\left(x\right)<0\text{ dla }x\in \left(a,x_0\right)\text{ i }f{}^{\prime }\left(x\right)>0\text{ dla }x\in \left(x_0,b\right),$   to f ma w punkcie x0 minimum.

---

a) Obliczmy pochodną

$f{}^{\prime }\left(x\right)=6x^2-6x-72$  

Szukamy miejsc zerowych pochodnej

$f{}^{\prime }\left(x\right)=0$

$6x^2-6x-72=0$

$\Delta ={\left(-6\right)}^2-4\cdot 6\cdot \left(-72\right)=36+1728=1764,\sqrt{\Delta }=42$    

$x=\frac{6-42}{12}=-3\vee x=\frac{6+42}{12}=4$  

Wykres pomocniczy

Odczytujemy z wykresu, że

$f{}^{\prime }\left(x\right)>0\text{ dla }x\in \left(-\infty ,-3\right)\cup \left(4,+\infty \right)$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)<0\text{ dla }x\in \left(-3,4\right)$  

Pochodna zmienia znak w punktach x = -3 i x = 4, zatem są tam ekstrema.

- Maksimum lokalne w x = -3

$f\left(-3\right)=141$  

- Minimum lokalne w x = 4

$f\left(4\right)=-202$  

---

b) Obliczmy pochodną