Obliczmy granice
x→1 −limf(x)=x→1 −lim(ax+b)=a+b
x→1 +limf(x)=x→1 +lim(cx+d)=c+d
x→3 −limf(x)=x→3 −lim(cx+d)=3c+d
x→3 +limf(x)=x→3 +lim(ex+f)=3e+f
a) Aby zachodziły równości granic muszą zachodzić następujące równania
{a+b=3e+f ∣−3ec+d=−3c−d ∣+d−c
{f=a+b−3e2d=−4c ∣:2
{f=a+b−3ed=−2c
Stąd
⎩⎨⎧a∈Rb∈Rc∈Rd=−2ce∈Rf=a+b−3e
Przykładowe rozwiązanie: Wybieramy
a=1, b=1, c=1, e=1
Mamy
d=−2, f=1+1−3=−1
Wzór funkcji
f(x)=⎩⎨⎧x+1, x∈(−∞, 1)−2, x∈⟨1, 3)x−1, x∈⟨3,+∞)
b) Aby istniały granice i były równie podanym liczbom, muszą zachodzić następujące równania
⎩⎨⎧a+b=2 ∣−bc+d=2 ∣−d3c+d=4 ∣−3c3e+f=4 ∣−3e
⎩⎨⎧a=2−bc=2−dd=4−3cf=4−3e
⎩⎨⎧a=2−bc=2−dd=4−3(2−d)f=4−3e
⎩⎨⎧a=2−bc=2−dd=4−6+3d ∣−3df=4−3e
⎩⎨⎧a=2−bc=2−d−2d=−2 ∣:(−2)f=4−3e
⎩⎨⎧a=2−bc=2−dd=1f=4−3e
⎩⎨⎧a=2−bc=1d=1f=4−3e
Stąd
⎩⎨⎧a=2−bb∈Rc=1d=1e∈Rf=4−3e
Przykładowe rozwiązanie: Wybieramy
b=1, e=1
Mamy
a=1, c=1, d=1, f=1
Wzór funkcji
f(x)=⎩⎨⎧x+1, x∈(−∞, 1)x+1, x∈⟨1, 3)x+1, x∈⟨3,+∞)
