a) Przekształćmy

$a_n={\left(\frac{9\cdot \sqrt[3]{9}}{\sqrt{243}}\right)}^n={\left(\frac{3^2\cdot 3^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{5}{2}}}\right)}^n={\left(\frac{3^{\frac{8}{3}}}{3^{\frac{5}{2}}}\right)}^n={\left(3^{\frac{1}{6}}\right)}^n=3^{\frac{1}{6}n}$  

Zatem

$a_1=3^{\frac{1}{6}}=\sqrt[6]{3}\approx 1,2$  

$a_2=3^{\frac{2}{6}}=\sqrt[3]{3}\approx 1,44$  

$a_3=3^{\frac{3}{6}}=\sqrt{3}\approx 1,73$  

$a_4=3^{\frac{4}{6}}\approx 2,08$  

$\text{itd.}$  

Zatem ciąg jest rozbieżny do ∞ i

$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\infty$  

---

a) Przekształćmy

$a_n={\left(\frac{1}{2-\frac{3}{4-\frac{5}{6}}}\right)}^n={\left(\frac{1}{2-\frac{3}{\frac{19}{6}}}\right)}^n={\left(\frac{1}{2-\frac{18}{19}}\right)}^n={\left(\frac{1}{\frac{20}{29}}\right)}^n={\left(\frac{19}{20}\right)}^n$  

Zatem

$a_1={\left(\frac{19}{20}\right)}^1=0,95$  

$a_2={\left(\frac{19}{20}\right)}^2=0,9025$  

$a_3={\left(\frac{19}{20}\right)}^3\approx 0,8574$  

$a_4={\left(\frac{19}{20}\right)}^4\approx 0,8145$  

$\text{itd.}$  

Zatem ciąg nie jest rozbieżny i

$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0$