Chcemy przedstawić liczbę w postaci sumy liczb naturalnych. Rozważmy sumę ciągu arytmetycznego. Aby składników było jak najwięcej powinniśmy mieć jak najmniejszą różnicę (przyjmijmy ciąg rosnący) i zaczynać od jak najmniejszej wartości.

Weźmy r = 1 i a₁ = 1. Sprawdźmy czy suma ciągu o takich parametrach dla jakiegoś n jest równa 1250.

$S_n=1250$

$\frac{2\cdot 1+n-1}{2}\cdot n=1250\mid \cdot 2$

$n^2+n=2500\mid -2500$

$n^2+n-2500=0$

$\Delta =1^2-4\cdot 1\cdot \left(-2500\right)=1+10000=10001,\sqrt{\Delta }=\sqrt{10001}$      

$n=\frac{-1-\sqrt{10001}}{2}\approx -50,5\vee n=\frac{-1+\sqrt{10001}}{2}\approx 49,5$  

Nie mamy jednoznacznego naturalnego n dla którego jest to prawda. Najbliżej mamy sumy kolejnych 49 lub 50 liczb naturalnych. Sprawdźmy ile wynoszą, być może będziemy mogli je zmodyfikować.

$S_{50}=\frac{1+50}{2}\cdot 50=51\cdot 25=1275$  

$S_{49}=\frac{1+49}{2}\cdot 49=25\cdot 49=1225$  

Zauważmy, że do sumy S₄₉ powinniśmy dodać 25, ale taki składnik już występuje w tej sumie. Nie da się tego zmienić.

Od sumy S₅₀ możemy odjąć 25, wtedy mamy różne składnik i suma się zgadza. Stąd

$1250=1+2+3+\dots +24+26+\dots +49+50$  

Mieliśmy sumę 50 składników, teraz jest ich 49.