Dla kąta α+k∙360⁰ takiego, że α ∈ <0⁰, 360⁰) i k ∈ Z, definiujemy: $\sin \left(\alpha +k\cdot {360}^{\circ }\right)=\sin \alpha$   $\cos \left(\alpha +k\cdot {360}^{\circ }\right)=\cos \alpha$   $\text{tg}\left(\alpha +k\cdot {360}^{\circ }\right)=\text{tg}\alpha \text{dla}\alpha \ne {90}^{\circ }\text{i}\alpha \ne {270}^{\circ }$   $\text{ctg}\left(\alpha +k\cdot {360}^{\circ }\right)=\text{ctg}\alpha \text{dla}\alpha \ne 0^{\circ }\text{i}\alpha \ne {180}^{\circ }$

---

$\text{a)}\text{ctg}{1939}^{\circ }-\text{ctg}{1119}^{\circ }=$  

$=\text{ctg}\left({1800}^{\circ }+{139}^{\circ }\right)-\text{ctg}\left({1080}^{\circ }+{39}^{\circ }\right)=$  

$=\text{ctg}\left(5\cdot {360}^{\circ }+{139}^{\circ }\right)-\text{ctg}\left(3\cdot {360}^{\circ }+{39}^{\circ }\right)=$  

$=\underset{<0}{\underbrace{\text{ctg}{139}^{\circ }}}-\underset{>0}{\underbrace{\text{ctg}{39}^{\circ }}}<0$  

W II ćwiartce cotangens jest ujemny, więc ctg139⁰<0, a w I ćwiartce dodatni, czyli ctg39⁰>0.

Różnica liczby ujemnej i liczby dodatniej jest liczbą ujemną, więc:

$\text{ctg}{1939}^{\circ }-\text{ctg}{1119}^{\circ }<0$  

$\text{c. n. d.}$  

---

$\text{b)}\sin \left(-{1689}^{\circ }\right)-\sin \left(-{2658}^{\circ }\right)=$  

$=\sin \left(-{1800}^{\circ }+{111}^{\circ }\right)-\sin \left({2880}^{\circ }+{222}^{\circ }\right)=$  

$=\sin \left(-5\cdot {360}^{\circ }+{111}^{\circ }\right)-\sin \left(-8\cdot {360}^{\circ }+{222}^{\circ }\right)=$  

$=\underset{>0}{\underbrace{\sin {111}^{\circ }}}-\underset{<0}{\underbrace{\sin {222}^{\circ }}}>0$  

W II ćwiartce sinus jest dodatni, więc sin111⁰>0, a w III ćwiartce ujemny, czyli sin222⁰<0.

Różnica liczby dodatniej i liczby ujemnej jest liczbą dodatnią, więc:

$\sin \left(-{1689}^{\circ }\right)-\sin \left(-{2658}^{\circ }\right)>0$  

$\text{c. n. d.}$  

---

$\text{c)}\text{tg}\left(-{3040}^{\circ }\right)-\text{tg}{1540}^{\circ }=$  

$=\text{tg}\left(-{3240}^{\circ }+{200}^{\circ }\right)-\text{tg}\left({1440}^{\circ }+{100}^{\circ }\right)=$  

$=\text{tg}\left(-9\cdot {360}^{\circ }+{200}^{\circ }\right)-\text{tg}\left(4\cdot {360}^{\circ }+{100}^{\circ }\right)=$  

$=\underset{>0}{\underbrace{\text{tg}{200}^{\circ }}}-\underset{<0}{\underbrace{\text{tg}{100}^{\circ }}}>0$  

W III ćwiartce tangens jest dodatni, więc tg200⁰>0, a w II ćwiartce ujemny, czyli tg100⁰<0.

Różnica liczby dodatniej i liczby ujemnej jest liczbą dodatnią, więc:

$\text{tg}\left(-{3040}^{\circ }\right)-\text{tg}{1540}^{\circ }>0$  

$\text{c. n. d.}$  

---

$\text{d)}\cos {2653}^{\circ }+\cos \left(-{3377}^{\circ }\right)=$  

$=\cos \left({2520}^{\circ }+{133}^{\circ }\right)+\cos \left(-{3600}^{\circ }+{223}^{\circ }\right)=$  

$=\cos \left(-7\cdot {360}^{\circ }+{133}^{\circ }\right)+\cos \left(-10\cdot {360}^{\circ }+{223}^{\circ }\right)=$  

$=\underbrace{\cos {133}_{\left(<0\right)}^{\circ }+\underset{<0}{\underbrace{\cos {223}^{\circ }}}<0}$  

W II ćwiartce cosinus jest ujemny, więc cos133⁰<0, a w III ćwiartce ujemny, czyli cos223⁰<0.

Suma liczb ujemnych jest liczbą ujemną, więc:

$\cos {2653}^{\circ }+\cos \left(-{3377}^{\circ }\right)<0$  

$\text{c. n. d.}$