Wszystkie wyrazy ciągu malejącego...- Zadanie 16: MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

Zapiszmy, że zachodzą własności

$a_{n + 1} - a_{n} < 0$

$a_{n} < - 1$

$a_{n} \in Z$

a) Mamy

$b_{n} = - a_{n}$

Zbadamy monotoniczność

$b_{n + 1} - b_{n} = - a_{n + 1} - (- a_{n}) = a_{n} - a_{n + 1} > 0$

Stąd ciąg jest rosnący.

b) Mamy

$c_{n} = - \frac{1}{a _{n}}$

Zbadamy monotoniczność

$c_{n + 1} - c_{n} = - \frac{1}{a _{n + 1}} - (- \frac{1}{a _{n}}) = - \frac{1}{a _{n + 1}} + \frac{1}{a _{n}} = \frac{a _{n + 1} - a _{n}}{a _{n} a _{n + 1}}$

Zauważmy, że

$a_{n} < - 1, n \in N \Rightarrow a_{n} a_{n + 1} > 0$

oraz

$a_{n + 1} - a_{n} < 0$

Więc

$c_{n + 1} - c_{n} = \frac{a _{n + 1} - a _{n}}{a _{n} a _{n + 1}} < 0$

Stąd ciąg jest malejący.

c) Mamy

$d_{n} = ∣ a_{n} ∣$

Zbadamy monotoniczność

$d_{n + 1} - d_{n} = ∣ a_{n + 1} ∣ - ∣ a_{n} ∣$

Zauważmy, że

$a_{n} < - 1 \Rightarrow ∣ a_{n} ∣ = - a_{n}$

Zapiszmy

$∣ a_{n + 1} ∣ - ∣ a_{n} ∣ = - a_{n + 1} + a_{n} = a_{n} - a_{n + 1} > 0$

Stąd ciąg jest rosnący.

d) Mamy

$e_{n} = (- 1)^{a_{n}}$

Zbadamy monotoniczność

$e_{n + 1} - e_{n} = (- 1)^{e_{n + 1}} - (- 1)^{e_{n}}$

Zauważmy, że w zależności od wyrazów ciągu może być monotoniczny lub nie.

I. Gdy wyrazy ciągu ciągu liczbami parzystym (niekoniecznie kolejnymi)

$e_{n} = - 2 k_{n}, k_{n} \in N_{+}$

Zapiszmy, że dla n naturalnych zachodzi

$e_{n + 1} - e_{n} = (- 1)^{- 2 k_{n + 1}} - (- 1)^{- 2 k_{n}} = ((- 1)^{2})^{- k_{n}} - ((- 1)^{2})^{- k_{n}} = 1^{- k_{n + 1}} - 1^{- k_{n}} = 1 - 1 = 0$

Stąd ciąg jest stały w tym przypadku. Zauważ, że gdy wszystkie wyrazy ciągu (e_n) będą liczbami nieparzystymi będziemy mieli analogiczną sytuację.

II. Gdy jednak wyrazy ciągu (e_n) nie są wszystkie parzystymi lub nieparzystymi liczbami to ciąg jest niemonotoniczny, ponieważ będzie zmieniał się znak różnicy w zależności od parzystości liczb w wykładnikach.