Wyznaczamy współrzędne punktów przecięcia prostej i paraboli.

$\{\begin{array}{l}y=-2x^2+2x+4\\ y=2x-1\end{array}$  

Porównując prawe strony obu równań, otrzymujemy:

$-2x^2+2x+4=2x-1$  

$-2x^2=-5\mid :\left(-2\right)$  

$x^2=\frac{5}{2}$  

$x^2=\frac{10}{4}$  

$x=-\frac{\sqrt{10}}{2}\text{lub}x=\frac{\sqrt{10}}{2}$  

Podstawiamy wyznaczone wartości x do dowolnego równania w układzie i wyznaczamy y.

$\{\begin{array}{l}x=-\frac{\sqrt{10}}{2}\\ y=2x-1\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}x=\frac{\sqrt{10}}{2}\\ y=2x-1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-\frac{\sqrt{10}}{2}\\ y=2\cdot \left(-\frac{\sqrt{10}}{2}\right)-1\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}x=\frac{\sqrt{10}}{2}\\ y=2\cdot \frac{\sqrt{10}}{2}-1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-\frac{\sqrt{10}}{2}\\ y=-\sqrt{10}-1\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}x=\frac{\sqrt{10}}{2}\\ y=\sqrt{10}-1\end{array}$  

Zatem:

$A\left(-\frac{\sqrt{10}}{2},-\sqrt{10}-1\right),B\left(\frac{\sqrt{10}}{2},\sqrt{10}-1\right)$  

---

Obliczamy współrzędne środka odcinka AB, korzystając ze wzoru na współrzędne środka odcinka:

$x_S=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{-\frac{\sqrt{10}}{2}+\frac{\sqrt{10}}{2}}{2}=\frac{0}{2}=0$  

$y_S=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{-\sqrt{10}-1+\sqrt{10}-1}{2}=\frac{-2}{2}=-1$  

Zatem:

$S\left(0,-1\right)$  

---

Niech symetralna odcinka AB będzie miała równanie:

$y=ax+b$  

Symetralna jest prostopadła do prostej AB: y=2x-1. 

Iloczyn współczynników kierunkowych prostych prostopadłych jest równy -1, więc:

$a\cdot 2=-1\mid :2$  

$a=-\frac{1}{2}$  

Wówczas równanie prostej przyjmuje postać:

$y=-\frac{1}{2}x+b$  

Symetralna przechodzi przez punkt S(0, -1), więc podstawiając współrzędne punktu do równania prostej otrzymujemy:

$-1=-\frac{1}{2}\cdot 0+b$  

$b=-1$  

Zatem symetralna odcinka AB ma równanie:

$y=-\frac{1}{2}x-1$