Wyznaczamy współrzędne punktów przecięcia paraboli y=x² i prostej y=x+2.

$\{\begin{array}{l}y=x^2\\ y=x+2\end{array}$  

Porównujemy prawe strony obu równań, otrzymując:

$x^2=x+2$  

$x^2-x-2=0$  

$\Delta =1+8=9,\sqrt{\Delta }=3$  

$x=\frac{1-3}{2}=\frac{-2}{2}=-1\text{lub}x=\frac{1+3}{2}=\frac{4}{2}=2$  

Podstawiamy wyznaczone wartości x do dowolnego równania w układzie i wyznaczamy y.

$\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=x+2\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}x=2\\ y=x+2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=-1+2\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}x=2\\ y=2+2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=1\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}x=2\\ y=4\end{array}$  

Prosta y=x+2 przecina parabolę y=x² w punktach:

$A\left(-1,1\right),B\left(2,4\right)$  

---

Wyznaczamy współrzędne punktów przecięcia paraboli y=x² i prostej y=x+6.

$\{\begin{array}{l}y=x^2\\ y=x+6\end{array}$  

Porównujemy prawe strony obu równań, otrzymując:

$x^2=x+6$  

$x^2-x-6=0$  

$\Delta =1+24=25,\sqrt{\Delta }=5$  

$x=\frac{1-5}{2}=\frac{-4}{2}=-2\text{lub}x=\frac{1+5}{2}=\frac{6}{2}=3$  

Podstawiamy wyznaczone wartości x do dowolnego równania w układzie i wyznaczamy y.

$\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=x+6\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}x=3\\ y=x+6\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=-2+6\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}x=3\\ y=3+6\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=4\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}x=3\\ y=9\end{array}$  

Prosta y=x+2 przecina parabolę y=x² w punktach:

$C\left(3,9\right),D\left(-2,4\right)$  

---

Rysunek pomocniczy:

---

Punkty B i D mają tę samą drugą współrzędną, więc leżą na prostej:

$y=4$  

---

Niech prosta AC ma równanie:

$y=ax+b$  

Podstawiamy współrzędne punktów A i C do równania prostej, by wyznaczyć współczynniki a i b:

$\{\begin{array}{l}-a+b=1\mid \cdot \left(-1\right)\\ 3a+b=9\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a-b=-1\\ 3a+b=9\end{array}$  

Dodajemy równania stronami.

$4a=8\mid :4$  

$a=2$  

Podstawiamy a=2 do dowolnego równania w układzie i wyznaczmy b.

$\{\begin{array}{l}a=2\\ -a+b=1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=2\\ -2+b=1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=2\\ b=3\end{array}$  

Zatem prosta AC ma równanie:

$y=2x+3$  

---

Wyznaczamy współrzędne punktu przecięcia przekątnych czworokąta ABCD, czyli punktu przecięcia prostych AC: y=2x+3 i BD: y=4.

$\{\begin{array}{l}y=2x+3\\ y=4\end{array}$  

Podstawiamy y=4 do pierwszego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}4=2x+3\\ y=4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-2x=-1\mid :\left(-2\right)\\ y=4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\\ y=4\end{array}$  

Zatem przekątne czworokąta ABCD przecinają się w punkcie

$S\left(\frac{1}{2},4\right)$