Zapiszmy jaką mają postać liczby, które przy dzieleniu przez 5 dają resztę 1 lub 4

$x_k=5k+1\vee y_l=5l+4$  

Sprawdźmy ile jest takich liczb dwucyfrowych

$10\le 5k+1\le 99\mid -1$  

$9\le 5k\le 98\mid :5$  

$1\frac{4}{5}\le k\le 19\frac{3}{5}$  

Stąd mamy 18 takich liczb, bo

$k\in \left\{2,\dots ,19\right\}$  

Oraz

$10\le 5l+4\le 99\mid -4$  

$6\le 5l\le 95\mid :5$  

$1\frac{1}{5}\le l\le 19$  

Stąd mamy 18 takich liczb, bo

$l\in \left\{2,\dots ,19\right\}$  

Będziemy sumowali osobno liczby dające resztę 1 a osobno te z resztą 4. Zatem

$S^x=\frac{x_2+x_{19}}{2}\cdot 18=\frac{5\cdot 2+1+5\cdot 19+1}{2}\cdot 18=\left(10+2+95\right)\cdot 9=107\cdot 9=963$  

$S^y=\frac{y_2+y_{19}}{2}\cdot 18=\frac{5\cdot 2+4+5\cdot 19+4}{2}\cdot 18=\left(10+8+95\right)\cdot 9=113\cdot 9=1017$  

Zatem mamy pełną sumę

$S=S^x+S^y=963+1017=1980$