Założenie: 𝛼-dowolny kąt

Teza: tg𝛼=^sin𝛼/_cos𝛼 gdy cos𝛼≠0

 

Dowód:

Jeżeli punkt P=(x, y) różny od O jest punktem należącym do końcowego ramienia kąta 𝛼 i |OP|=r, to:

$\sin \alpha =\frac{y}{r}\text{i}\cos \alpha =\frac{x}{r},\text{gdzie}{r}^2=x^2+y^2$  

Oraz

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{y}{x},x\ne 0$  

Zatem:

$\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{y}{r}}{\frac{x}{r}}=\frac{y}{r}\cdot \frac{r}{x}=\frac{y}{x}=\mathrm{tg}\alpha$  

Czyli:

$\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\mathrm{tg}\alpha$  

cnw.