a) Czworokąt ABCD można opisać na okręgu jeśli spełniony jest warunek:

$\left|AD\right|+\left|BC\right|=\left|AB\right|+\left|CD\right|$  

$m+m=\left|AB\right|+\left|CD\right|$  

$2m=\left|AB\right|+\left|CD\right|$  

więc:

$p_{ABCD}=2m$  

Obliczmy pole powierzchni trapezu ABCD:

$P_{ABCD}=2m\cdot r=2mr$  

 

Odp.: Pole trapezu ABCD wynosi 2mr. 

---

b) Wykonajmy rysunek pomocniczy korzystając z faktu, że znamy zależności między długościami boków w trójkącie prostokątnym o katach ostrych 30^o i 60^o:

Czworokąt ABCD można opisać na okręgu jeśli spełniony jest warunek:

$\left|AD\right|+\left|BC\right|=\left|AB\right|+\left|CD\right|$  

$2x+2x=2x+2b$  

$2x=2b$  

$b=x$  

stąd:

$a=3x$  

Czyli:

$x=\frac{a}{3}$  

więc:

$p_{ABCD}=4x=4\cdot \frac{a}{3}=\frac{4}{3}a$  

Promień okręgu wpisanego w ten czworokąt jest równy połowie wysokości tego trapezu, zatem:

$r=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{3}x=\frac{\sqrt{3}}{2}x=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{a}{3}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$  

 

Obliczmy pole powierzchni trapezu ABCD:

$P_{ABCD}=\frac{4}{3}a\cdot \frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{4\sqrt{3}{a}^2}{18}=\frac{2\sqrt{3}{a}^2}{9}$  

 

Odp.: Pole trapezu ABCD wynosi 2√3a²/₉.