Dany jest trójkąt ABC, wiemy, że:

- promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy 10

- sinusy dwóch kątów tego trójkąta są równe 0,25 i 0,4

 

Korzystając z twierdzenia sinusów obliczmy długość boku tego trójkąta, znajdującego się naprzeciw kąta, którego sinus wynosi 0,25

a - długość szukanego boku trójkąta

$\frac{a}{0,25}=2\cdot 10$  

$\frac{a}{0,25}=20$  

$a=20\cdot 0,25$  

$a=5$  

 

Korzystając z twierdzenia sinusów obliczmy długość boku tego trójkąta, znajdującego się naprzeciw kąta, którego sinus wynosi 0,4

b - długość szukanego boku trójkąta

$\frac{b}{0,4}=2\cdot 10$  

$\frac{b}{0,4}=20$  

$b=20\cdot 0,4$  

$b=8$  

 

Korzystając z tablic wartości funkcji trygonometrycznych możemy odczytać, że:

$\sin \alpha =0,25\Rightarrow \alpha \approx {14}^{\circ }$  

$\sin \alpha =0,4\Rightarrow \alpha \approx {24}^{\circ }$  

Zatem łatwo możemy zauważyć, że trójkąt ten jest rozwartokątny, oraz:

$\gamma ={180}^{\circ }-\left(\alpha +\beta \right)=\alpha +\beta$  

 

Z tyłu książki podano wzór, z którego możemy skorzystać:

$\sin \left(\alpha +\beta \right)=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$  

 

Korzystając z jedynki trygonometrycznej obliczmy wartość cos𝛼:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

${0,25}^2+{\cos }^2\alpha =1$  

$\frac{625}{10000}+{\cos }^2\alpha =1$  

${\cos }^2\alpha =\frac{9375}{10000}$  

$\cos \alpha =\frac{25\sqrt{15}}{100}$  

$\cos \alpha =\frac{\sqrt{15}}{4}$  

 

Korzystając z jedynki trygonometrycznej obliczmy wartość cos𝛽:

${\sin }^2\beta +{\cos }^2\beta =1$  

${0,4}^2+{\cos }^2\beta =1$  

$\frac{16}{100}+{\cos }^2\beta =1$  

${\cos }^2\beta =\frac{84}{100}$  

$\cos \beta =\frac{2\sqrt{21}}{10}$  

$\cos \beta =\frac{\sqrt{21}}{5}$  

 

Stąd:

$\sin \left(\alpha +\beta \right)=0,25\cdot \frac{\sqrt{21}}{5}+\frac{\sqrt{15}}{4}\cdot 0,4=0,05\sqrt{21}+0,1\sqrt{15}$  

 

Obliczmy pole powierzchni tego trójkąta:

$P=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 8\cdot \left(0,05\sqrt{21}+0,1\sqrt{15}\right)=20\cdot \left(0,05\sqrt{21}+0,1\sqrt{15}\right)=$  

$=\sqrt{21}+2\sqrt{15}$  

 

Odp.: Pole powierzchni tego trójkąta wynosi √21 +2√15.