Dana jest parabola o równaniu:

$y=\frac{1}{2}{x}^2-x-2$  

Oraz punkty:

$A\left(0,-2\right);B\left(4,2\right)$  

Wyznaczmy współczynnik kierunkowy prostej AB:

$a_{AB}=\frac{2-\left(-2\right)}{4-0}=\frac{4}{4}=1$  

Prosta k równoległa do prostej AB ma ten sam współczynnik kierunkowy, zatem:

$a_k=1$  

Zatem:

$k:y=x+b$  

Do prostej k należy punkt P, który należy również do danej paraboli, więc:

$P\left(x,\frac{1}{2}{x}^2-x-2\right)$  

Zatem szukamy takiego b, aby równanie:

$x+b=\frac{1}{2}{x}^2-x-2$  

miało jedno rozwiązanie (ponieważ b musi być wyznaczone jednoznacznie)

Więc:

$\frac{1}{2}{x}^2-2x-2-b=0$  

Czyli musimy wyznaczyć b dla którego spełniony jest warunek:

$\Delta =0$  

${\left(-2\right)}^2-4\cdot \frac{1}{2}\cdot \left(-2-b\right)=0$  

$4-2\cdot \left(-2-b\right)=0$  

$4+4+2b=0$  

$8+2b=0$  

$2b=-8$  

$b=-4$  

Zatem:

$k:y=x-4$  

Wyznaczmy współrzędne punktu wspólnego prostej k i osi OX:

$0=x-4$  

$x=4$  

Ten punkt wspólny ma współrzędne (4, 0).

Wyznaczmy współrzędne punktu wspólnego prostej k i osi OY:

$y=0-4$  

$y=-4$  

Ten punkt wspólny ma współrzędne (0, -4).

Trójkąt ograniczony osiami układu współrzędnych i prostą k ma wierzchołki o współrzędnych:

C(0, 0); D(4, 0); E(0, -4) 

Łatwo możemy zauważyć, że trójkąt CDE jest prostokątny (ponieważ osie układu współrzędnych są prostopadłe).

Zatem:

$\left|CD\right|=\left|0-4\right|=\left|-4\right|=4$  

$\left|CE\right|=\left|0-\left(-4\right)\right|=\left|4\right|=4$  

 

Obliczmy pole trójkąta CDE:

$P_{CDE}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4=2\cdot 4=8$  

c.n.w.