Wykaż, że prawdziwa jest równość...- Zadanie 4: Matematyka 3. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Mamy wykazać, że:

$\frac{sin α - sin 2 α + sin 3 α}{cos α - cos 2 α + cos 3 α} = t g 2 α$

zakładając, że prawa i lewa strona tej nierówności jest określona.

Zauważmy, że:

$sin α + sin 3 α = 2 sin \frac{α + 3 α}{2} \cdot cos \frac{α - 3 α}{2} =$

$= 2 sin \frac{4 α}{2} \cdot cos \frac{- 2 α}{2} = 2 sin 2 α \cdot cos α$

Oraz

$cos α + cos 3 α = 2 cos \frac{α + 3 α}{2} \cdot cos \frac{α - 3 α}{2} =$

$= 2 cos \frac{4 α}{2} \cdot cos \frac{- 2 α}{2} = 2 cos 2 α \cdot cos α$

Zatem:

$\frac{sin α - sin 2 α + sin 3 α}{cos α - cos 2 α + cos 3 α} = \frac{2 sin 2 α \cdot cos α - sin 2 α}{2 cos 2 α \cdot cos α - cos 2 α} =$

$= \frac{sin 2 α ( 2 cos α - 1 )}{cos 2 α ( 2 cos α - 1 )} = \frac{sin 2 α}{cos 2 α} = t g 2 α$

c.n.w.

Aleksandra Filipowska

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Wyznaczanie równania prostej

Premium

13:59

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tożsamości trygonometryczne (1)

Premium

12:05

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Punkt przecięcia prostych i wzajemne położenie dwóch prostych

Premium

15:06

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.