Sprawdź, czy prawdziwa...- Zadanie 3: Matematyka 3. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

$a) \frac{cos α + cos β}{sin α - sin β} = ct g \frac{α - β}{2}$

Zauważmy, że:

$\frac{cos α + cos β}{sin α - sin β} = \frac{2 cos \frac{α + β}{2} \cdot cos \frac{α - β}{2}}{2 sin \frac{α - β}{2} \cdot cos \frac{α + β}{2}} =$

$= \frac{cos \frac{α - β}{2}}{sin \frac{α - β}{2}} = ct g \frac{α - β}{2}$

zatem podana równość jest prawdziwa.

$b) \frac{cos ^{2} α - sin ^{2} β}{cos ( β - α )} = cos (α + β)$

Czyli:

$cos^{2} α - sin^{2} β = cos (α + β) \cdot cos (β - α)$

Zauważmy, że:

$cos^{2} α - sin^{2} β = cos^{2} α - (1 - cos^{2} β) = cos^{2} α + cos^{2} β - 1$

Oraz

$cos (α + β) \cdot cos (β - α) =$

$= (cos α \cdot cos β - sin α \cdot sin β) (cos β \cdot cos α + sin β \cdot sin α) =$

$= cos^{2} α cos^{2} β - sin^{2} α \cdot sin^{2} β =$

$= cos^{2} α cos^{2} β - (1 - cos^{2} α) (1 - cos^{2} β) =$

$= cos^{2} α cos^{2} β - (1 - cos^{2} β - cos^{2} α + cos^{2} α \cdot cos^{2} β) =$

$= cos^{2} α cos^{2} β - 1 + cos^{2} β + cos^{2} α - cos^{2} α \cdot cos^{2} β =$

$= - 1 + cos^{2} β + cos^{2} α$

zatem podana równość jest prawdziwa.

Aleksandra Filipowska

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Tożsamości trygonometryczne (1)

Premium

12:05

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Punkt przecięcia prostych i wzajemne położenie dwóch prostych

Premium

15:06

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Wyznaczanie równania prostej

Premium

13:59

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.