Mamy wykazać, że:

$\cos \alpha +\cos \frac{3\alpha +2\pi }{3}+\cos \frac{3\alpha +4\pi }{3}=0$  

Czyli:

$\cos \frac{3\alpha +2\pi }{3}+\cos \frac{3\alpha +4\pi }{3}=-\cos \alpha$  

 

Zauważmy, że:

$\cos \frac{3\alpha +2\pi }{3}+\cos \frac{3\alpha +4\pi }{3}=$  

$=2\cos \frac{\frac{3\alpha +2\pi +3\alpha +4\pi }{3}}{2}\cdot \cos \frac{\frac{3\alpha +2\pi -3\alpha -4\pi }{3}}{2}=$  

$=2\cos \frac{\frac{6\alpha +6\pi }{3}}{2}\cdot \cos \frac{\frac{-2\pi }{3}}{2}=2\cos \frac{6\alpha +6\pi }{6}\cdot \cos \frac{2\pi }{6}=$  

$=2\cos \left(\alpha +\pi \right)\cdot \frac{\cos \pi }{3}=2\cos \left(\alpha +\pi \right)\cdot \frac{1}{2}=$  

$=\cos \left(\alpha +\pi \right)=-\cos \alpha$  

 

c.n.w.