Mamy wykazać, że jeśli:

$x\in (-\infty ,-\frac{1}{2}⟩$  

to:

$\frac{4}{x}+7\ge 2x$  

Zatem wystarczy pokazać, że:

$\frac{4}{x}+7-2x\ge 0\mid \cdot x,\left(x<0\right)$  

Czyli:

$-2x^2+7x+4\le 0$  

dla

$x\in (-\infty ,-\frac{1}{2}⟩$  

 

Rozważamy funkcję:

$f\left(x\right)=-2x^2+7x+4,D_f=\mathbb{R}$  

Funkcja f jest ciągła w zbiorze liczb rzeczywistych i różniczkowalna. Wyznaczmy jej pochodną:

$f{}^{\prime }\left(x\right)=-4x+7,D_f{}^{\prime }=\mathbb{R}$  

Sprawdźmy czy funkcja f ma ekstrema lokalne.

$f{}^{\prime }\left(x\right)=0\iff \left[-4x+7=0\wedge x\in D_f{}^{\prime }\right]\iff \left(x=\frac{7}{4}\right)$  

Zatem:

$f{}^{\prime }\left(x\right)>0\iff x\in \left(-\infty ,\frac{7}{4}\right)$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)<0\iff x\in \left(\frac{7}{4},+\infty \right)$  

Funkcja f jest rosnąca w zbiorze (-oo, 7/4>.

Funkcja f jest malejąca w zbiorze <7/4, +oo).

Z tego wynika, że jeśli:

$x<-\frac{1}{2}\Rightarrow f\left(x\right)<f\left(-\frac{1}{2}\right)$  

Obliczamy:

$f\left(-\frac{1}{2}\right)=-2\cdot {\left(-\frac{1}{2}\right)}^2+7\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)+4=$  

$=-2\cdot \frac{1}{4}-\frac{7}{2}+4=-\frac{1}{2}-\frac{7}{2}+4=0$  

Zatem jeśli:

$x<-\frac{1}{2}\Rightarrow f\left(x\right)<0$  

Otrzymaliśmy, że jeśli:

$x\in (-\infty ,-\frac{1}{2}⟩$  

to:

$-2x^2+7x+4\le 0$  

c.n.w.