Dany jest wzór funkcji f...- Zadanie 4: Matematyka 3. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

$a) f (x) = \frac{∣ x ∣}{x}, x_{0} = 0$

Wykażemy, że nie istnieje granica funkcji f w punkcie 0.

Dziedziną funkcji f jest zbiór R-{0}. Funkcja f jest określona w sąsiedztwie S(0).

Rozważmy ciąg (a_n), gdzie:

$a_{n} = \frac{1}{n}, n \in N_{+}$

Mamy:

$a_{n} \in S (0), n \to \infty lim a_{n} = 0, ∣ a_{n} ∣ = \frac{1}{n}$

(ponieważ ¹/_n>0)

$f (a_{n}) = \frac{∣ a _{n} ∣}{a _{n}} = \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}} = 1$

Zatem:

$n \to \infty lim f (a_{n}) = 1$

Rozważmy teraz ciąg (b_n), gdzie:

$b_{n} = - \frac{1}{n}, n \in N_{+}$

Mamy:

$b_{n} \in S (0), n \to \infty lim b_{n} = 0, ∣ b_{n} ∣ = \frac{1}{n}$

(ponieważ -¹/_n<0)

$f (b_{n}) = \frac{∣ b _{n} ∣}{b _{n}} = \frac{\frac{1}{n}}{- \frac{1}{n}} = - 1$

Zatem:

$n \to \infty lim f (b_{n}) = - 1$

Wskazaliśmy dwa różne ciągi (a_n) i (b_n), które spełniają warunki:

$n \to \infty lim a_{n} = n \to \infty lim b_{n} = 0$

i jednocześnie:

$n \to \infty lim f (a_{n}) \neq = n \to \infty lim f (b_{n})$

To oznacza, iż granica funkcji f w punkcie 0 nie istnieje.

$b) f (x) = \frac{∣ 5 x + 10 ∣}{x + 2}, x_{0} = - 2$

Wykażemy, że nie istnieje granica funkcji f w punkcie -2.

Dziedziną funkcji f jest zbiór R-{-2}. Funkcja f jest określona w sąsiedztwie S(-2).

Rozważmy ciąg (a_n), gdzie:

$a_{n} = \frac{1}{n} - 2, n \in N_{+}$

Mamy:

$a_{n} \in S (- 2), n \to \infty lim a_{n} = - 2$

$f (a_{n}) = \frac{∣ 5 a _{n} + 10 ∣}{a _{n} + 2} = \frac{5 \cdot ( \frac{1}{n} - 2 ) + 10}{\frac{1}{n} - 2 + 2} = \frac{\frac{5}{n} - 10 + 10}{\frac{1}{n}} = \frac{\frac{5}{n}}{\frac{1}{n}} = 5$

Zatem:

$n \to \infty lim f (a_{n}) = 5$

Rozważmy teraz ciąg (b_n), gdzie:

$b_{n} = - \frac{1}{n} - 2, n \in N_{+}$

Mamy:

$b_{n} \in S (- 2), n \to \infty lim b_{n} = - 2$

$f (b_{n}) = \frac{∣ 5 b _{n} + 10 ∣}{b _{n} + 2} = \frac{5 \cdot ( - \frac{1}{n} - 2 ) + 10}{- \frac{1}{n} - 2 + 2} = \frac{- \frac{5}{n} - 10 + 10}{- \frac{1}{n}} = \frac{\frac{5}{n}}{- \frac{1}{n}} = - 5$

Zatem:

$n \to \infty lim f (b_{n}) = - 5$

Wskazaliśmy dwa różne ciągi (a_n) i (b_n), które spełniają warunki:

$n \to \infty lim a_{n} = n \to \infty lim b_{n} = - 2$

i jednocześnie:

$n \to \infty lim f (a_{n}) \neq = n \to \infty lim f (b_{n})$

To oznacza, iż granica funkcji f w punkcie -2 nie istnieje.

$c) f (x) = \frac{4 x + 12}{∣ x + 3 ∣}, x_{0} = - 3$

Wykażemy, że nie istnieje granica funkcji f w punkcie -3.

Dziedziną funkcji f jest zbiór R-{-3}. Funkcja f jest określona w sąsiedztwie S(-3).

Rozważmy ciąg (a_n), gdzie:

$a_{n} = \frac{1}{n} - 3, n \in N_{+}$

Mamy:

$a_{n} \in S (- 3), n \to \infty lim a_{n} = - 3$

$f (a_{n}) = \frac{4 a _{n} + 12}{∣ a _{n} + 3 ∣} = \frac{4 \cdot ( a _{n} + 3 )}{∣ a _{n} + 3 ∣} = \frac{4 \cdot ( \frac{1}{n} - 3 + 3 )}{\frac{1}{n} - 3 + 3} = \frac{\frac{4}{n}}{\frac{1}{n}} = 4$

Zatem:

$n \to \infty lim f (a_{n}) = 4$

Rozważmy teraz ciąg (b_n), gdzie:

$b_{n} = - \frac{1}{n} - 3, n \in N_{+}$

Mamy:

$b_{n} \in S (- 2), n \to \infty lim b_{n} = - 2$

$f (b_{n}) = \frac{4 b _{n} + 12}{∣ b _{n} + 3 ∣} = \frac{4 \cdot ( b _{n} + 3 )}{∣ b _{n} + 3 ∣} = \frac{4 \cdot ( - \frac{1}{n} - 3 + 3 )}{- \frac{1}{n} - 3 + 3} = \frac{- \frac{4}{n}}{- \frac{1}{n}} = - 4$

Zatem:

$n \to \infty lim f (b_{n}) = - 4$

Wskazaliśmy dwa różne ciągi (a_n) i (b_n), które spełniają warunki:

$n \to \infty lim a_{n} = n \to \infty lim b_{n} = - 3$

i jednocześnie:

$n \to \infty lim f (a_{n}) \neq = n \to \infty lim f (b_{n})$

To oznacza, iż granica funkcji f w punkcie -3 nie istnieje.

$d) f (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x + 1}, x_{0} = - 1$

Wykażemy, że nie istnieje granica funkcji f w punkcie -1.

Dziedziną funkcji f jest zbiór R-{-1}. Funkcja f jest określona w sąsiedztwie S(-1).

Rozważmy ciąg (a_n), gdzie:

$a_{n} = \frac{1}{n} - 1, n \in N_{+}$

Mamy:

$a_{n} \in S (- 1), n \to \infty lim a_{n} = - 1$

$f (a_{n}) = \frac{a _{n}^{2} - 1}{a _{n} + 1} = \frac{∣ ( a _{n} - 1 ) ( a _{n} + 1 ) ∣}{a _{n} + 1} =$

$= \frac{( \frac{1}{n} - 1 - 1 ) ( \frac{1}{n} - 1 + 1 )}{\frac{1}{n} - 1 + 1} = \frac{( \frac{1}{n} - 2 ) \cdot \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}} = \frac{1}{n} - 2 = 2 - \frac{1}{n}$

Zatem:

$n \to \infty lim f (a_{n}) = n \to \infty lim (2 - \frac{1}{n}) = 2$

Rozważmy teraz ciąg (b_n), gdzie:

$b_{n} = - \frac{1}{n} - 1, n \in N_{+}$

Mamy:

$b_{n} \in S (- 1), n \to \infty lim b_{n} = - 1$

$f (b_{n}) = \frac{b _{n}^{2} - 1}{b _{n} + 1} = \frac{∣ ( b _{n} - 1 ) ( b _{n} + 1 ) ∣}{b _{n} + 1} =$

$= \frac{( - \frac{1}{n} - 1 - 1 ) ( - \frac{1}{n} - 1 + 1 )}{- \frac{1}{n} - 1 + 1} = \frac{( - \frac{1}{n} - 2 ) \cdot ( - \frac{1}{n} )}{- \frac{1}{n}} =$

$= - - \frac{1}{n} - 2 = - (\frac{1}{n} + 2) = - \frac{1}{n} - 2$

Zatem:

$n \to \infty lim f (b_{n}) = n \to \infty lim (- \frac{1}{n} - 2) = - 2$

Wskazaliśmy dwa różne ciągi (a_n) i (b_n), które spełniają warunki:

$n \to \infty lim a_{n} = n \to \infty lim b_{n} = - 1$

i jednocześnie:

$n \to \infty lim f (a_{n}) \neq = n \to \infty lim f (b_{n})$

To oznacza, iż granica funkcji f w punkcie -1 nie istnieje.

$e) f (x) = \frac{1 - x}{∣ x - 1 ∣}, x_{0} = 1$

Zauważmy, że:

$f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1 - x}{x - 1} dla x > 1 \frac{1 - x}{1 - x} dla x \in (0, 1)$

Czyli:

$f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1 - x}{( x - 1 ) ( x + 1 )} dla x > 1 \frac{1 - x}{( 1 - x ) ( 1 + x )} dla x \in (0, 1)$

$f (x) = {\frac{- 1}{( x + 1 )} dla x > 1 \frac{1}{1 + x} dla x \in (0, 1)$

Wykażemy, że nie istnieje granica funkcji f w punkcie 1.

Dziedziną funkcji f jest zbiór R₊-{1}. Funkcja f jest określona w sąsiedztwie S(1).

Rozważmy ciąg (a_n), gdzie:

$a_{n} = \frac{1}{n} + 1, n \in N, a_{n} > 1$

Mamy:

$a_{n} \in S (1), n \to \infty lim a_{n} = 1$

$f (a_{n}) = \frac{- 1}{a _{n} + 1} = \frac{- 1}{\frac{1}{n} + 1 + 1}$

Zatem:

$n \to \infty lim f (a_{n}) = n \to \infty lim \frac{- 1}{\frac{1}{n} + 1 + 1} = - \frac{1}{1 + 1} = - \frac{1}{2}$

Rozważmy teraz ciąg (b_n), gdzie:

$b_{n} = - \frac{1}{n} + 1, n \in N_{+}, b_{n} < 1$

Mamy:

$b_{n} \in S (1), n \to \infty lim b_{n} = 1$

$f (b_{n}) = \frac{1}{1 + b _{n}} = \frac{1}{1 + - \frac{1}{n} + 1}$

Zatem:

$n \to \infty lim f (b_{n}) = n \to \infty lim \frac{1}{1 + - \frac{1}{n} + 1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$

Wskazaliśmy dwa różne ciągi (a_n) i (b_n), które spełniają warunki:

$n \to \infty lim a_{n} = n \to \infty lim b_{n} = 1$

i jednocześnie:

$n \to \infty lim f (a_{n}) \neq = n \to \infty lim f (b_{n})$

To oznacza, iż granica funkcji f w punkcie 1 nie istnieje.

$f) f (x) = \frac{x ^{2} + ∣ 2 x ∣}{x}, x_{0} = 0$

Wykażemy, że nie istnieje granica funkcji f w punkcie 0.

Dziedziną funkcji f jest zbiór R-{0}. Funkcja f jest określona w sąsiedztwie S(0).

Rozważmy ciąg (a_n), gdzie:

$a_{n} = \frac{1}{n}, n \in N_{+}$

Mamy:

$a_{n} \in S (0), n \to \infty lim a_{n} = 0, ∣ a_{n} ∣ = \frac{1}{n}$

(ponieważ ¹/_n>0)

$f (a_{n}) = \frac{( a _{n} ) ^{2} + ∣ 2 a _{n} ∣}{a _{n}} = \frac{( \frac{1}{n} ) ^{2} + 2 \cdot \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}} = \frac{1}{n} + 2$

Zatem:

$n \to \infty lim f (a_{n}) = n \to \infty lim (\frac{1}{n} + 2) = 2$

Rozważmy teraz ciąg (b_n), gdzie:

$b_{n} = - \frac{1}{n}, n \in N_{+}$

Mamy:

$b_{n} \in S (0), n \to \infty lim b_{n} = 0, ∣ b_{n} ∣ = \frac{1}{n}$

(ponieważ -¹/_n<0)

$f (b_{n}) = \frac{( b _{n} ) ^{2} + ∣ 2 b _{n} ∣}{b _{n}} = \frac{( - \frac{1}{n} ) ^{2} + 2 \cdot ( - \frac{1}{n} )}{- \frac{1}{n}} = \frac{\frac{1}{n} + 2}{- 1} = - \frac{1}{n} - 2$