Oblicz granicę funkcji...- Zadanie 1: Matematyka 3. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

W zadaniu skorzystamy z definicji Heinego zamieszczonej w podręczniku na stronie 285.

$a) f (x) = x - 9, x_{0} = 7$

Dziedziną funkcji f jest zbiór R. Funkcja jest więc określona w sąsiedztwie S(7). Weźmy dowolny ciąg (x_n), o wyrazach należących do sąsiedztwa S(7) i zbieżny do liczby 7:

$n \to \infty lim x_{n} = 7$

Mamy:

$f (x_{n}) = x_{n} - 9$

więc granica lim_(n->oo)f(x_n) istnieje oraz

$n \to \infty lim f (x_{n}) = n \to \infty lim (x_{n} - 9) = n \to \infty lim x_{n} - 9 = 7 - 9 = - 2$

To znaczy, że:

$x \to 7 lim f (x) = - 2$

$b) f (x) = x^{2} - 4 x + 2, x_{0} = - 1$

Dziedziną funkcji f jest zbiór R. Funkcja jest więc określona w sąsiedztwie S(-1). Weźmy dowolny ciąg (x_n), o wyrazach należących do sąsiedztwa S(-1) i zbieżny do liczby -1:

$n \to \infty lim x_{n} = - 1$

Mamy:

$f (x_{n}) = (x_{n})^{2} - 4 x_{n} + 2$

więc granica lim_(n->oo)f(x_n) istnieje oraz

$n \to \infty lim f (x_{n}) = n \to \infty lim ((x_{n})^{2} - 4 x_{n} + 2) = n \to \infty lim (x_{n})^{2} - 4 n \to \infty lim x_{n} + 2 =$

$= (- 1)^{2} - 4 \cdot (- 1) + 2 = 1 + 4 + 2 = 7$

To znaczy, że:

$x \to - 1 lim f (x) = 7$

$c) f (x) = 5 \cdot ∣ x ∣ - 6, x_{0} = - 4$

Dziedziną funkcji f jest zbiór R. Funkcja jest więc określona w sąsiedztwie S(-4). Weźmy dowolny ciąg (x_n), o wyrazach należących do sąsiedztwa S(-4) i zbieżny do liczby -4:

$n \to \infty lim x_{n} = - 4$

Mamy:

$f (x_{n}) = 5 \cdot ∣ x_{n} ∣ - 6$

więc granica lim_(n->oo)f(x_n) istnieje oraz

$n \to \infty lim f (x_{n}) = n \to \infty lim (5 \cdot ∣ x_{n} ∣ - 6) = 5 n \to \infty lim ∣ x_{n} ∣ - 6 =$

$= 5 \cdot ∣ - 4 ∣ - 6 = 5 \cdot 4 - 6 = 20 - 6 = 14$

To znaczy, że:

$x \to - 4 lim f (x) = 14$

$d) f (x) = x^{3} - 2 ∣ x ∣ + 1, x_{0} = 1$

Dziedziną funkcji f jest zbiór R. Funkcja jest więc określona w sąsiedztwie S(1). Weźmy dowolny ciąg (x_n), o wyrazach należących do sąsiedztwa S(1) i zbieżny do liczby 1:

$n \to \infty lim x_{n} = 1$

Mamy:

$f (x_{n}) = (x_{n})^{3} - 2 ∣ x_{n} ∣ + 1$

więc granica lim_(n->oo)f(x_n) istnieje oraz

$n \to \infty lim f (x_{n}) = n \to \infty lim ((x_{n})^{3} - 2 ∣ x_{n} ∣ + 1) = n \to \infty lim (x_{n})^{3} - 2 n \to \infty lim ∣ x_{n} ∣ + 1 =$

$= (1)^{3} - 2 \cdot ∣ 1 ∣ + 1 = 1 - 2 + 1 = 0$

To znaczy, że:

$x \to 1 lim f (x) = 0$

$e) f (x) = \frac{2}{x}, x_{0} = 0, 4$

Dziedziną funkcji f jest zbiór R-{0}. Funkcja jest więc określona w sąsiedztwie S(0,4). Weźmy dowolny ciąg (x_n), o wyrazach należących do sąsiedztwa S(0,4) i zbieżny do liczby 0,4:

$n \to \infty lim x_{n} = 0, 4$

Mamy:

$f (x_{n}) = \frac{2}{x _{n}}$

więc granica lim_(n->oo)f(x_n) istnieje oraz

$n \to \infty lim f (x_{n}) = n \to \infty lim (\frac{2}{x _{n}}) = \frac{2}{n \to \infty lim x _{n}} = \frac{2}{0 , 4} = 2 \cdot \frac{10}{4} = 5$

To znaczy, że:

$x \to 0, 4 lim f (x) = 5$

$f) f (x) = \frac{6 - 2 x}{x + 4}, x_{0} = 0$

Dziedziną funkcji f jest zbiór R-{-4}. Funkcja jest więc określona w sąsiedztwie S(0). Weźmy dowolny ciąg (x_n), o wyrazach należących do sąsiedztwa S(0) i zbieżny do liczby 0:

$n \to \infty lim x_{n} = 0$

Mamy:

$f (x_{n}) = \frac{6 - 2 x _{n}}{x _{n} + 4}$

więc granica lim_(n->oo)f(x_n) istnieje oraz

$n \to \infty lim f (x_{n}) = n \to \infty lim (\frac{6 - 2 x _{n}}{x _{n} + 4}) = \frac{n \to \infty lim ( 6 - 2 x _{n} )}{n \to \infty lim ( x _{n} + 4 )} =$