Założenie:

$b_n=\frac{{\left(-1\right)}^n}{n+3},n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

Teza:

$\underset{n\to +\infty }{\lim }{b}_n=0$  

---

Dowód:

Oznaczmy przez ε pewną liczbę dodatnią. 

Żeby udowodnić, że liczba 0 jest granicą ciągu (b_n) musimy pokazać, że istnieje taka liczba 𝜹, dla której wszystkie wyrazy ciągu o numerach większych od 𝜹 spełniają nierówność 

$\left|b_n-0\right|<\epsilon$   

Zauważmy, że dla każdej liczby naturalnej dodatniej n mamy 

$\left|b_n-0\right|=\left|b_n\right|=\left|\frac{{\left(-1\right)}^n}{n+3}\right|=\frac{1}{n+3}$  

Szacujemy otrzymany ułamek 

$\left|b_n-0\right|=\frac{1}{n+3}<\frac{1}{n}$  

(jeśli porównujemy dwa ułamki dodatnie o równych licznikach to większy jest ten, którego mianownik jest mniejszy).

Niech ε > 0.

Rozważamy nierówność 

$\frac{1}{n}<\epsilon \Rightarrow \frac{1}{\epsilon }<n$   

Zatem jeśli dla każdej liczby dodatniej ε przyjmiemy, że 

$\delta =\frac{1}{\epsilon }$  

to dla dowolnej dodatniej liczby naturalnej n większej od 𝜹 zachodzi

$\left|b_n-0\right|<\epsilon$  

czyli liczba 0 jest granicą ciągu (b_n).

c.n.d.