$\text{a)}$  

$a_n=n^3-7n^2+6n=n\left(n^2-7n+6\right)=n\left(n^2-6n-n+6\right)=n\left[n\left(n-6\right)-\left(n-6\right)\right]=n\left(n-6\right)\left(n-1\right)$  

Obliczamy:

$a_1=1^3-7\cdot 1^2+6\cdot 1=1-7+6=0$  

$a_2=2^3-7\cdot 2^2+6\cdot 2=8-7\cdot 4+12=8-28+12=-8$            

$a_6=6^3-7\cdot 6^2+6\cdot 6=216-7\cdot 36+36=216-252+36=0$  

 

Zauważmy, że:

$a_1>a_2$  

oraz

$a_2<a_6$  

Zatem pokazaliśmy, że nie jest to ciąg monotoniczny.

---

$\text{b)}$  

$a_n=\frac{{\left(-1\right)}^n\left(n^2+1\right)}{n+3}$  

 

$a_1=\frac{{\left(-1\right)}^1\left(1^2+1\right)}{1+3}$  

$a_1=\frac{-1\cdot 2}{4}$  

$a_1=-\frac{1}{2}$  

 

$a_2=\frac{{\left(-1\right)}^2\left(2^2+1\right)}{2+3}$  

$a_2=\frac{5}{5}$  

$a_2=1$  

 

$a_3=\frac{{\left(-1\right)}^3\left(3^2+1\right)}{3+3}$  

$a_3=\frac{-1\left(9+1\right)}{6}$  

$a_3=-\frac{10}{6}$  

$a_3=-\frac{5}{3}$  

 

Zauważmy, że:

$a_1<a_2$  

oraz

$a_2>a_3$  

Zatem pokazaliśmy, że nie jest to ciąg monotoniczny.