${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=25$  

$S\left(2,2\right),r=5$  

Rysunek pomocniczy:

    

Wyznaczmy punkty przecięcia prostej i okręgu.

$\{\begin{array}{l}y=-2x+1\\ {\left(x-2\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=25\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-2x+1\\ {\left(x-2\right)}^2+{\left(-2x+1-2\right)}^2=25\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-2x+1\\ x^2-4x+4+{\left(-2x-1\right)}^2=25\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-2x+1\\ x^2-4x+4+{\left(-\left(2x+1\right)\right)}^2=25\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-2x+1\\ x^2-4x+4+4x^2+4x+1=25\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-2x+1\\ 5x^2-20=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-2x+1\\ x^2-4=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-2x+1\\ x=2\end{array}\vee \{\begin{array}{l}y=-2x+1\\ x=-2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-2\cdot 2+1\\ x=2\end{array}\vee \{\begin{array}{l}y=-2\cdot \left(-2\right)+1\\ x=-2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-3\\ x=2\end{array}\vee \{\begin{array}{l}y=5\\ x=-2\end{array}$  

$A\left(2,-3\right),B\left(-2,5\right)$  

 

Wyznaczmy prostą prostopadłą do prostej y=-2x+1 przechodzącą przez punkt A.

$y=\frac{1}{2}x+b$  

Podstawiając współrzędne punktu A mamy:

$-3=\frac{1}{2}\cdot 2+b$  

$-3=1+b$  

$-4=b$  

Zatem mamy:

$y=\frac{1}{2}x-4$  

Wyznaczmy punkt przecięcia tej prostej i okręgu.

$\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}x-4\\ {\left(x-2\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=25\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}x-4\\ x^2-4x+4+{\left(\frac{1}{2}x-4-2\right)}^2=25\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}x-4\\ x^2-4x+4+{\left(\frac{1}{2}x-6\right)}^2=25\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}x-4\\ x^2-4x+4+\frac{1}{4}{x}^2-6x+36-25=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}x-4\\ \frac{5}{4}{x}^2-10x+15=0\mid :5\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}x-4\\ \frac{1}{4}{x}^2-2x+3=0\end{array}$  

$\Delta ={\left(-2\right)}^2-4\cdot \frac{1}{4}\cdot 3=4-3=1$  

$x_1=\frac{2-1}{2\cdot \frac{1}{4}}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$  

$x_2=\frac{2+1}{2\cdot \frac{1}{4}}=\frac{3}{\frac{1}{2}}=6$  

Pierwsza współrzędna szukanego punktu to 6, ponieważ dla x=2 punkt pokrywa się z punktem A.

Zatem mamy:

$\{\begin{array}{l}x=6\\ y=\frac{1}{2}x-4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=6\\ y=\frac{1}{2}\cdot 6-4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=6\\ y=3-4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=6\\ y=-1\end{array}$  

$D\left(6,-1\right)$  

 

Wyznaczmy prostą równoległą do prostej AB przechodzącą przez wierzchołek C.

$y=-2x+b$  

Podstawiając współrzędne punktu C mamy:

$-1=-2\cdot 6+b$  

$-1=-12+b$  

$11=b$  

Zatem mamy:

$y=-2x+11$  

Wyznaczmy współrzędne punktu D, czyli punkt przecięcia powyższej prostej i okręgu.

$\{\begin{array}{l}y=-2x+11\\ {\left(x-2\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=25\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-2x+11\\ {\left(x-2\right)}^2+{\left(-2x+11-2\right)}^2=25\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-2x+11\\ x^2-4x+4+{\left(-2x+9\right)}^2=25\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-2x+11\\ x^2-4x+4+{\left(-\left(2x-9\right)\right)}^2=25\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-2x+11\\ x^2-4x+4+4x^2-36x+81-25=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-2x+11\\ 5x^2-40x+60=0\mid :5\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-2x+11\\ x^2-8x+12=0\end{array}$  

$\Delta ={\left(-8\right)}^2-4\cdot 1\cdot 12=64-48=16$  

$x_1=\frac{8-4}{2}=\frac{4}{2}=2$  

$x_2=\frac{8+4}{2}=\frac{12}{2}=6$  

Pierwsza współrzędna szukanego punktu to 2, ponieważ dla x=6 punkt pokrywa się z punktem C.

Zatem mamy:

$\{\begin{array}{l}x=2\\ y=-2x+11\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=2\\ y=-2\cdot 2+11\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=2\\ y=-4+11\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=2\\ y=7\end{array}$  

$C\left(2,7\right)$

 

Wyznaczmy pole tego prostokąta.

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(-2-2\right)}^2+{\left(5-\left(-3\right)\right)}^2}=\sqrt{{\left(-4\right)}^2+8^2}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$  

$\left|BC\right|=\sqrt{{\left(2-\left(-2\right)\right)}^2+{\left(7-5\right)}^2}=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$  

Zatem otrzymujemy:

$P_{ABCD}=\left|AB\right|\cdot \left|BC\right|$  

$P_{ABCD}=4\sqrt{5}\cdot 2\sqrt{5}$  

$P_{ABCD}=4\cdot 2\cdot 5$  

$P_{ABCD}=40$