Układamy układ równań:

$\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}{x}^2-3x+1\\ y=-x+7\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-x+7=\frac{1}{2}{x}^2-3x+1\\ y=-x+7\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}0=\frac{1}{2}{x}^2-2x-6\mid \cdot 2\\ y=-x+7\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}0=x^2-4x-12\\ y=-x+7\end{array}$  

$\Delta ={\left(-4\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-12\right)=16+48=64$  

$x_1=\frac{4-8}{2}=\frac{-4}{2}=-2$  

$x_2=\frac{4+8}{2}=\frac{12}{2}=6$  

Zatem mamy:

$\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=-x+7\end{array}\vee \{\begin{array}{l}x=6\\ y=-x+7\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=-\left(-2\right)+7\end{array}\vee \{\begin{array}{l}x=6\\ y=-6+7\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=9\end{array}\vee \{\begin{array}{l}x=6\\ y=1\end{array}$  

$A\left(-2,9\right),B\left(6,1\right)$  

 

Wyznaczmy długość odcinka AB.

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(6-\left(-2\right)\right)}^2+{\left(1-9\right)}^2}$  

$\left|AB\right|=\sqrt{8^2+{\left(-8\right)}^2}$  

$\left|AB\right|=\sqrt{64+64}$  

$\left|AB\right|=\sqrt{64\cdot 2}$  

$\left|AB\right|=8\sqrt{2}$