Objętość ostrosłupa $V=\frac{1}{3}\cdot P_P\cdot H$, gdzie: $P_P$ - pole podstawy; $H$ - wysokość.

---

Obliczmy objętości danych brył.

a)   

Krawędź boczna długości $10\text{cm}$  jest prostopadła do podstawy - a więc jest również wysokością tego ostrosłupa.

Podstawą ostrosłupa jest romb o boku długości $6\text{cm}$  i kącie rozwartym o mierze  ${120}^{\circ }$ .

Zauważmy, że romb ten składa się z dwóch przystających równobocznych trójkątów.

Obliczamy pole trójkąta równobocznego o boku długości $6\text{cm}$ .

$P_{△}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

$P_{\Delta }=\frac{{\left(6\text{cm}\right)}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{36\sqrt{3}}{4}{\text{cm}}^2=9\sqrt{3}{\text{cm}}^2$  

Pole podstawy ostrosłupa jest zatem równe

$P_p=2\cdot P_{\Delta }=2\cdot 9\sqrt{3}{\text{cm}}^2=18\sqrt{3}{\text{cm}}^2$  

Objętość tego ostrosłupa jest równa

$V=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot H=\frac{1}{3}\cdot 18\sqrt{3}{\text{cm}}^2\cdot 10\text{cm}=60\sqrt{3}{\text{cm}}^3$   

---

b)   

Zacznijmy od wykonania rysunku tego ostrosłupa.

Krawędź boczna długości $10\text{cm}$  jest prostopadła do podstawy - a więc jest również wysokością tego ostrosłupa.

Obliczamy długość krawędzi podstawy, czyli boku trójkąta równobocznego  $a$ , korzystając ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego.

$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$  

$6\text{cm}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\mid \cdot 2$  

$12\text{cm}=a\sqrt{3}\mid :\sqrt{3}$  

$\frac{12}{\sqrt{3}}\text{cm}=a$  

$a=\frac{12}{\sqrt{3}}\text{cm}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{12\sqrt{3}}{3}\text{cm}=4\sqrt{3}\text{cm}$  

Obliczamy pole podstawy ostrosłupa korzystając ze wzoru na pole trójkąta równobocznego. 

$P_p=\frac{{\left(4\sqrt{3}\text{cm}\right)}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{48\sqrt{3}}{4}{\text{cm}}^2=12\sqrt{3}{\text{cm}}^2$  

Objętość tego ostrosłupa jest równa

$V=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot H=\frac{1}{3}\cdot 12\sqrt{3}{\text{cm}}^2\cdot 10\text{cm}=40\sqrt{3}{\text{cm}}^3$