Narysujmy ten ostrosłup.

Połowa przekątnej podstawy jest równa:

$20\text{cm}:2=10\text{cm}$ .

---

Obliczamy długość wysokości ostrosłupa korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla zamalowanego trójkąta.

${\left(10\text{cm}\right)}^2+H^2={\left(20\text{cm}\right)}^2$  

$100{\text{cm}}^2+H^2=400{\text{cm}}^2\mid -100{\text{cm}}^2$  

$H^2=300{\text{cm}}^2$  

$H=\sqrt{300}\text{cm}=\sqrt{100\cdot 3}\text{cm}=\sqrt{100}\cdot \sqrt{3}\text{cm}=10\sqrt{3}\text{cm}$  

---

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat. Pole kwadratu możemy obliczyć także ze wzoru na pole rombu, czyli jako połowę iloczynu długości przekątnych (kwadrat ma $4$  boki równej długości, więc jest rombem). 

$P_p=\frac{1}{2}\cdot 20\text{cm}\cdot 20\text{cm}=200{\text{cm}}^2$  

---

Obliczamy objętość tego ostrosłupa.

$V=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot H=\frac{1}{3}\cdot 200{\text{cm}}^2\cdot 10\sqrt{3}\text{cm}=\boxed{\frac{2000\sqrt{3}}{3}{\text{cm}}^3}$