a)   $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=ab+bc+ac$  

Twierdzenie nie jest prawdziwe

Kontrprzykład:

Weźmy $a=1,b=1,c=-\frac{1}{2}$. Wtedy

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{-\frac{1}{2}}=1+1-2=0$

Ponadto

$ab+bc+ac=1\cdot 1+1\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)+1\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=1-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$

Zatem założenia twierdzenia są spełnione. Równocześnie wtedy

$abc=1\cdot 1\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2}\ne 1$

To oznacza, że liczby spełniające założenia twierdzenia nie spełniają tezy. Stąd wnioskujemy, że twierdzenie nie jest prawdziwe.

---

b)   $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$  

Skoro liczby $a,b,c$ są mianownikami ułamków po lewej stronie równości, to zakładamy, że $a,b,c\in \mathbb{R}\setminus \{0\}$oraz $a+b+c\ne 0$

Przekształcamy powyższą równość.

$\frac{bc}{abc}+\frac{ac}{abc}+\frac{ab}{abc}=\frac{1}{a+b+c}$  

$\frac{bc+ac+ab}{abc}=\frac{1}{a+b+c}$  

$\frac{ab+bc+ac}{abc}=\frac{1}{a+b+c}\mid -\frac{1}{a+b+c}$  

$\frac{ab+bc+ac}{abc}-\frac{1}{a+b+c}=0$  

$\frac{\left(ab+bc+ac\right)\left(a+b+c\right)}{\left(abc\right)\left(a+b+c\right)}-\frac{abc}{\left(abc\right)\left(a+b+c\right)}=0$  

$\frac{a^{2}b+abc+a^{2}c+a{b}^2+b^{2}c+abc+abc+b{c}^2+a{c}^2}{\left(abc\right)\left(a+b+c\right)}-\frac{abc}{\left(abc\right)\left(a+b+c\right)}=0$  

$\frac{a^{2}b+abc+a^{2}c+a{b}^2+b^{2}c+abc+abc+b{c}^2+a{c}^2-abc}{\left(abc\right)\left(a+b+c\right)}=0$  

$\frac{a^{2}b+a{b}^2+abc+b^{2}c+a^{2}c+abc+a{c}^2+b{c}^2}{\left(abc\right)\left(a+b+c\right)}=0$  

$\frac{ab\left(a+b\right)+bc\left(a+b\right)+ac\left(a+b\right)+c^2\left(a+b\right)}{\left(abc\right)\left(a+b+c\right)}=0$  

$\frac{\left(a+b\right)\left(ab+bc+ac+c^2\right)}{\left(abc\right)\left(a+b+c\right)}=0$  

$\frac{\left(a+b\right)\left(b\left(a+c\right)+c\left(a+c\right)\right)}{\left(abc\right)\left(a+b+c\right)}=0$  

$\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)}{\left(abc\right)\left(a+b+c\right)}=0$  

$\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)=0$  

Iloczyn trzech liczb jest równy 0, jeżeli co najmniej jedna z tych liczb jest równa 0.

$a+b=0\vee a+c=0\vee b+c=0$  

$a=-b\vee a=-c\vee b=-c$  

Pokazaliśmy, że co najmniej dwie spośród trzech liczb  $a,$   $b,$   $c$  są liczbami przeciwnymi.

Co należało dowieść.