a) Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.

Końce odcinka oznaczonego literą x łączą środki dwóch boków trójkąta będącego ścianą czworościanu foremnego. Z twierdzenia o odcinku łączącym środki dwóch boków trójkąta wiemy, że odcinek taki jest równoległy do trzeciego boku. Oznacza to, że odcinek x jest równoległy do odcinka a.

Na tej samej podstawie możemy stwierdzić, że odcinek y jest równoległy do odcinka a.

Wobec tego odcinki x i y są równoległe.

Analogicznie można pokazać równoległość pozostałych dwóch boków przekroju.

W czworościanie foremnym wszystkie krawędzie mają taką samą długość.

Z twierdzenia o odcinku łączącym środki dwóch boków trójkąta wynika również, że długość tego odcinka jest równa połowie długości boku, do którego jest on równoległy. Zatem wszystkie boki przekroju mają taką samą długość (równą a/2).

Na razie uzasadniliśmy jedynie, że przekrój jest rombem. Przypomnijmy, że w rombie przeciwległe kąty mają takie same miary, a suma miar kątów leżących przy jednym boku jest równa 180^o. Wystarczy więc jeszcze pokazać, że jeden z kątów przekroju jest prosty.

Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.

Wszystkie ściany czworościanu są przystającymi trójkątami równobocznymi. Korzystamy ze wzoru na długość wysokości trójkąta równobocznego i wyznaczamy długość h.

$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$  

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa i wyznaczamy długość przekątnej przekroju.

$b^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=h^2$  

$b^2+\frac{a^2}{4}={\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2$  

$b^2+\frac{a^2}{4}=\frac{3a^2}{4}\mid -\frac{a^2}{4}$  

$b^2=\frac{2a^2}{4}$  

$b=\frac{\sqrt{2}a}{2}$  

Korzystamy z twierdzenia cosinusów i wyznaczamy cos 𝛼.

$b^2={\left(\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2-2\cdot \frac{a}{2}\cdot \frac{a}{2}\cdot \cos \alpha$  

$\frac{2a^2}{4}=\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{4}-\frac{a^2}{2}\cdot \cos \alpha$  

$\frac{a^2}{2}=\frac{2a^2}{4}-\frac{a^2}{2}\cdot \cos \alpha$  

$\frac{a^2}{2}=\frac{a^2}{2}-\frac{a^2}{2}\cdot \cos \alpha \mid -\frac{a^2}{2}$  

$0=-\frac{a^2}{2}\cdot \cos \alpha \mid :\left(-\frac{a^2}{2}\right)$  

$0=\cos \alpha$  

Wobec tego:

$\alpha ={90}^{\circ }$  

Pokazaliśmy, że przekrój jest prostokątem (a nawet kwadratem).

Co należało dowieść.

---

---

b) Z poprzedniego podpunktu wiemy już, że przekrój jest kwadratem o boku długości a/2, więc:

$P={\left(\frac{a}{2}\right)}^2=\frac{a^2}{4}$  

---

$\mathbf{P}=\frac{{\mathbf{a}}^2}{4}$