8 szkoły podstawowej

Matematyka z kluczem 8

Przypomnijmy: n   - liczba krawędzi podstawy (oraz krawędzi bocznych) graniastosłupa 2n   - liczba wierzchołków   3n   - liczba krawędzi n+2   - liczba ścian    a) 70   - liczba krawędzi bocznych   70​    - liczba krawędzi podstawy   b) n+2=20   n=18   - liczba wierzchołków jednej podstawy 2n=36​    - liczba wierzchołków w podstawach       c) 2n   - liczba wierzchołków 2n+15   - liczba krawędzi 3n   - liczba krawędzi   3n=2n+15   n=15   - liczba ścian bocznych n+2=2+17=17​   - łączna liczba ścian

Rozwiązanie 1

Graniastosłup n-kątny ma: -  2n   wierzchołków -  3n     krawędzi -    n+2    ścian zatem: a)  n=50   obliczmy liczbę ścian tego graniastosłupa:

Graniastosłup n-kątny ma: -  2n   wierzchołków -  3n     krawędzi -    n+2    ścian wiemy, że graniastosłup I ma o 18 krawędzi więcej niż graniastosłup II a)  3n1​    -liczba krawędzi graniastosłupa I 3n2​    -liczba krawędzi graniastosłupa II wiemy, że:

Zauważmy, że w każdym graniastosłupie prawidłowym każda z krawędzi bocznych jest prostopadła do 2 krawędzi podstawy dolnej oraz do 2 krawędzi podstawy górnej oraz ma z nimi

Zauważmy, że w każdym graniastosłupie prawidłowym ściany boczne są prostopadłe do podstawy.

Wprowadźmy następujące oznaczenia: a   -długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa b   -długość krawędzi bocznej tego graniastosłupa zauważmy, że: a+a+a+b+b+a=24 cm

a) W graniastosłupie czworokątnym z każdego z ośmiu wierzchołków możemy poprowadzić jedną przekątną graniastosłupa, 28⋅1​=4

W każdym graniastosłupie ściany boczne są w kształcie prostokąta. Wprowadźmy następujące oznaczenie: a    -długość krawędzi podstawy graniastosłupa 32-kątnego graniastosłup prawidłowy 32-kątny ma 32 krawędzie jednej podstawy tej samej długości zatem:

Graniastosłup prawidłowy sześciokątny ma 12 krawędzi podstawy i 6 krawędzi bocznych. Suma długości wszystkich krawędzi w tym graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym wynosi 144 cm. Wprowadźmy następujące oznaczenia: a   -długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa a−3   -długość krawędzi bocznej tego graniastosłupa zatem:

Sześcian ma 12 krawędzi tej samej długości.  Wprowadźmy oznaczenie: a   -długość  jednej krawędzi tego sześcianu 12a   -długość wszystkich krawędzi tego sześcianu wiemy, że:

Pierwsze zdanie jest fałszywe ponieważ

19