8 szkoły podstawowej

Matematyka z kluczem 8

Pierwsze pudełko 2x   - liczba koszulek białych 3x   - liczba koszulek czarnych 90   - łączna liczba koszulek 2x+3x=90   5x=90   x=18   2x=36   - koszulki białe 3x=54   - koszulki czarne   Drugie pudełko

Rozwiązanie 1

2⋅48=96    - łączna liczba osób na trybunach (2 rzędy po 48 osób w każdym)   Chcemy, aby w pierwszym rzędzie siedziało 3 razy więcej osób, niż w drugim rzędzie: x   - liczba osób w drugim rzędzie 3x   - liczba osób w pierwszym rzędzie x+3x   - łączna liczba osób

Marzec ma 31 dni.
 
Rozważmy przypadki.
1.
Załóżmy, że ostatnia niedziela marca wypadła 31 marca.
Niedziela tydzień później wypada 7 kwietnia.
Kolejna niedziela wypada 14 kwietnia.
Kolejna - 21 kwietnia.
Kolejna  - 28 kwietnia.
Kolejna - 5 maja (jest to pierwsza niedziela maja - upłynęło tylko 5 tygodni, więc warunki z treści zadania nie są spełnione)
 
2.
Załóżmy, że ostatnia niedziela marca wypadła 30 marca.

a+c=6   b+d=8       a) a+b+c+d==6<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='0.548em' viewBox='0 0 400000 548' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M0 6l6-6h17c12.688 0 19.313.3 20 1 4 4 7.313 8.3 10 13
 35.313 51.3 80.813 93.8 136.5 127.5 55.688 33.7 117.188 55.8 184.5 66.5.688
 0 2 .3 4 1 18.688 2.7 76 4.3 172 5h399450v120H429l-6-1c-124.688-8-235-61.7
-331-161C60.687 138.7 32.312 99.3 7 54L0 41V6z'/></svg><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='0.548em' viewBox='0 0 400000 548' preserveAspectRatio='xMidYMin slice'><path d='M199572 214
c100.7 8.3 195.3 44 280 108 55.3 42 101.7 93 139 153l9 14c2.7-4 5.7-8.7 9-14
 53.3-86.7 123.7-153 211-199 66.7-36 137.3-56.3 212-62h199568v120H200432c-178.3
 11.7-311.7 78.3-403 201-6 8-9.7 12-11 12-.7.7-6.7 1-18 1s-17.3-.3-18-1c-1.3 0
-5-4-11-12-44.7-59.3-101.3-106.3-170-141s-145.3-54.3-229-60H0V214z'/></svg><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='0.548em' viewBox='0 0 400000 548' preserveAspectRatio='xMaxYMin slice'><path d='M399994 0l6 6v35l-6 11c-56 104-135.3 181.3-238 232-57.3
 28.7-117 45-179 50H-300V214h399897c43.3-7 81-15 113-26 100.7-33 179.7-91 237
-174 2.7-5 6-9 10-13 .7-1 7.3-1 20-1h17z'/></svg>a+c​​+8<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='0.548em' viewBox='0 0 400000 548' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M0 6l6-6h17c12.688 0 19.313.3 20 1 4 4 7.313 8.3 10 13
 35.313 51.3 80.813 93.8 136.5 127.5 55.688 33.7 117.188 55.8 184.5 66.5.688
 0 2 .3 4 1 18.688 2.7 76 4.3 172 5h399450v120H429l-6-1c-124.688-8-235-61.7
-331-161C60.687 138.7 32.312 99.3 7 54L0 41V6z'/></svg><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='0.548em' viewBox='0 0 400000 548' preserveAspectRatio='xMidYMin slice'><path d='M199572 214
c100.7 8.3 195.3 44 280 108 55.3 42 101.7 93 139 153l9 14c2.7-4 5.7-8.7 9-14
 53.3-86.7 123.7-153 211-199 66.7-36 137.3-56.3 212-62h199568v120H200432c-178.3
 11.7-311.7 78.3-403 201-6 8-9.7 12-11 12-.7.7-6.7 1-18 1s-17.3-.3-18-1c-1.3 0
-5-4-11-12-44.7-59.3-101.3-106.3-170-141s-145.3-54.3-229-60H0V214z'/></svg><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='0.548em' viewBox='0 0 400000 548' preserveAspectRatio='xMaxYMin slice'><path d='M399994 0l6 6v35l-6 11c-56 104-135.3 181.3-238 232-57.3
 28.7-117 45-179 50H-300V214h399897c43.3-7 81-15 113-26 100.7-33 179.7-91 237
-174 2.7-5 6-9 10-13 .7-1 7.3-1 20-1h17z'/></svg>b+d​​=6+8=14     b)

Rysunek pomocniczy: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/138182/dJSzo85ShCemPGboyWbUkQ%3D%3D_ecf10d4a2121b756fc2b257e43bf4f9dc8bf7cc91fadaea38034a1db44f8f78d.jpg" alt="" width="721" height="479"> Wysokość prostokąta: a=5+3=8 cm     Szerokość prostokąta:

Zaznaczmy dane punkty w układzie współrzędnych: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/138184/aDemVEQS5ntPi7GwUcyCZg%3D%3D_3789b3dee763fab49bfd5aa1a6f5ca2a4af41071cb88b9ddb4810c1d64980990.jpg" alt="" width="880" height="727">

Trójkąt BCD jest równoramienny (CD = DB) - a wię kąty DCB i DBC mają równe miary.   Przypomnijmy: suma miar kątów w trójkącie jest równa 180o Wyznaczmy miarę kąta  α:   α+36∘+36∘=180∘   α=108∘     Wyznaczmy miarę kąta ADC:

Zauważmy, że kąty EDH i FBG mają miary 45o (przekątne kwadratu leżą na dwusiecznych jego kątów wewnętrznych). Figura EFGH jest kwadratem - czyli kąty EFG, GFB, HEF, HED są proste.

a   - długość krawędzi sześcianu 12a   - suma długości wszystkich krawędzi 4a   - obwód ściany bocznej 72 cm   - różnica między sumą długości krawędzi i obwodem ściany

Przekątne w rombie dzielą jego kąty wewnętrzne na połowy. Przekątne w rombie przecinają się pod kątem prostym.   Popatrzmy na romb BCDE - odcinek CD jest przekątną,  a więc kąty CBD i DBE mają równe miary - oznaczmy je jako  α     Popatrzmy teraz na romb ABDE - odcinek EB jest jego przekątną, a więc kąty ABE i   DBE mają równe miary - czyli są one równe α     Oznacza to, że wszystkie trzy  kąty ABE, EBD, DBC mają równe miary - wiemy również, że razem tworzą kąt półpełny.