a)

Jest to graniastosłup prawidłowy trójkątny, ponieważ jego podstawą jest trójkąt równoboczny.

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa jest równe sumie pól dwóch jego podstaw i pola powierzchni bocznej graniastosłupa, czyli

$P_c=2\cdot P_p+P_b$  

Obliczamy pole podstawy, czyli pole trójkąta równobocznego o boku długości  $4$ .

$P_p=\frac{4^2\cdot \sqrt{3}}{4}=\frac{{\sout{16}}^4\sqrt{3}}{{\sout{4}}^1}=4\sqrt{3}$  

Wysokość tego graniastosłupa wynosi  $8$  (jedna z nich zaznaczona została kolorem czerwonym).

Pole powierzchni bocznej jest równe sumie pól trzech ścian bocznych.

$P_b=3\cdot \left(4\cdot 8\right)=3\cdot 32=96$  

Pole powierzchni całkowitej jest równe:

$P_c=2\cdot 4\sqrt{3}+96=8\sqrt{3}+96=96+8\sqrt{3}$  

---

b)

Jest to graniastosłup trójkątny, ponieważ jego podstawą jest trójkąt.

Przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego oznaczamy przez $x$ . Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa, aby wyznaczyć jej długość.

$x^2=5^2+{12}^2$  

$x^2=25+144$  

$x^2=169$  

$x=13$  

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa jest równe sumie pól dwóch jego podstaw i pola powierzchni bocznej graniastosłupa, czyli

$P_c=2\cdot P_p+P_b$  

Obliczamy pole podstawy, czyli pole trójkąta prostokątnego.

$P_p=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 12=\frac{1}{2}\cdot 60=30$  

Wysokość tego graniastosłupa wynosi  $6$  (jedna z nich zaznaczona została kolorem czerwonym).

Pole powierzchni bocznej jest równe sumie pól trzech ścian bocznych.

$P_b=5\cdot 6+12\cdot 6+13\cdot 6=30+72+78=180$  

Pole powierzchni całkowitej jest równe:

$P_c=2\cdot 30+180=60+180=240$  

---

c)

Jest to graniastosłup trójkątny.

Wiemy, że miara jednego z kątów ostrych w trójkącie prostokątnym jest równa ${30}^o$ , więc miara drugiego wynosi ${90}^o-{30}^o={60}^o$ .

Przypomnijmy własności trójkątów o kątach ${30}^o,{60}^o,{90}^o$ .

Przyjmijmy, że $2a=8$ , więc $a=4$  oraz $a\sqrt{3}=4\sqrt{3}$ .

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa jest równe sumie pól dwóch jego podstaw i pola powierzchni bocznej graniastosłupa, czyli

$P_c=2\cdot P_p+P_b$  

Obliczamy pole podstawy, czyli pole trójkąta prostokątnego.

$P_p=\frac{1}{{\sout{2}}^1}\cdot {\sout{4}}^2\cdot 4\sqrt{3}=8\sqrt{3}$  

Wysokość tego graniastosłupa wynosi  $5$  (jedna z nich zaznaczona została kolorem czerwonym).

Pole powierzchni bocznej jest równe sumie pól trzech ścian bocznych.

$P_b=5\cdot 4+5\cdot 4\sqrt{3}+5\cdot 8=20+20\sqrt{3}+40=60+20\sqrt{3}$  

Pole powierzchni całkowitej jest równe:

$P_c=2\cdot 8\sqrt{3}+60+20\sqrt{3}=16\sqrt{3}+60+20\sqrt{3}=60+36\sqrt{3}$