Rysunek pomocniczy:

---

a) 

Z treści zadania wiemy, że:

$\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$  

$\frac{H}{40}=\frac{\sqrt{3}}{2}$  

$H=20\sqrt{3}\left[\text{cm}\right]$  

Korzystając z tw. Pitagorasa mamy:

${\left(20\sqrt{3}\right)}^2+{\left(2r\right)}^2={40}^2$  

$400\cdot 3+4r^2=1600$  

$1200+4r^2=1600$  

$4r^2=400$  

$r^2=100$  

$r=10\left[\text{cm}\right]$  

Obliczmy pole powierzchni całkowitej tego walca.

$P_c=2\pi r^2+2\pi rh$  

$P_c=2\pi r\left(r+h\right)$  

$P_c=2\pi \cdot 10\left(10+20\sqrt{3}\right)$  

$P_c=20\pi \cdot 10\left(1+2\sqrt{3}\right)$  

$P_c=200\pi \left(1+2\sqrt{3}\right)\left[{\text{cm}}^2\right]$  

---

b)

Z treści zadania wiemy, że:

$\cos \alpha =0,8$  

$\frac{2r}{40}=\frac{8}{10}$  

$\frac{r}{20}=\frac{8}{10}$  

$r=16\left[\text{cm}\right]$  

Korzystając z tw. Pitagorasa mamy:

$H^2+{\left(2\cdot 16\right)}^2={40}^2$  

$H^2+{32}^2={40}^2$  

$H^2+1024=1600$  

$H^2=576$  

$H=24\left[\text{cm}\right]$  

Obliczmy pole powierzchni całkowitej tego walca.

$P_c=2\pi r^2+2\pi rh$  

$P_c=2\pi r\left(r+h\right)$  

$P_c=2\pi \cdot 16\left(16+24\right)$  

$P_c=32\pi \cdot 40$  

$P_c=1280\pi \left[{\text{cm}}^2\right]$  

---

c)

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{4}{3}$  

$\frac{H}{2r}=\frac{4}{3}$  

$H=\frac{4}{3}\cdot 2r$  

$H=\frac{8}{3}r$  

Korzystając z tw. Pitagorasa mamy:

$H^2+{\left(2r\right)}^2={40}^2$  

${\left(\frac{8}{3}r\right)}^2+4r^2=1600$  

$\frac{64}{9}{r}^2+\frac{36}{9}{r}^2=1600$  

$\frac{100}{9}{r}^2=1600\mid :100$  

$\frac{1}{9}{r}^2=16\mid \cdot 9$  

$r^2=16\cdot 9$  

$r=4\cdot 3$  

$r=12\left[\text{cm}\right]$  

Zatem mamy:

$H=\frac{8}{3}\cdot 12$  

$H=32\left[\text{cm}\right]$  

Obliczmy pole powierzchni całkowitej tego walca.

$P_c=2\pi r^2+2\pi rh$  

$P_c=2\pi r\left(r+h\right)$  

$P_c=2\pi \cdot 12\left(12+32\right)$  

$P_c=24\pi \cdot 44$  

$P_c=1056\pi \left[{\text{cm}}^2\right]$