3 szkoły ponadpodstawowej

III liceum

III technikum

Prosto do matury 3. Zakres podstawowy i rozszerzony

(A,K)   123∘−720∘=−597∘   (B,I)   525∘−720∘= −195∘   (C,G)   612∘−720∘=−108∘   (D,J)   770∘−1080∘=−310∘   (E,L)   1000∘−1800∘=−800∘   (F,H)   1300∘−1440∘=−140∘

Rozwiązanie 1

1. Merkury 180⋅24=1416 [h]   a więc

Jeżeli ramię wodzące kąta przechodzi przez punkt (xP, yP) to: sinα=ryP​​   cosα=rxP​​   tg α=xP​yP​​   Promień wodzący jest dany wzorem: r=xP2​+yP2​<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.88em' viewBox='0 0 400000 1944' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M983 90
l0 -0
c4,-6.7,10,-10,18,-10 H400000v40
H1013.1s-83.4,268,-264.1,840c-180.7,572,-277,876.3,-289,913c-4.7,4.7,-12.7,7,-24,7
s-12,0,-12,0c-1.3,-3.3,-3.7,-11.7,-7,-25c-35.3,-125.3,-106.7,-373.3,-214,-744
c-10,12,-21,25,-33,39s-32,39,-32,39c-6,-5.3,-15,-14,-27,-26s25,-30,25,-30
c26.7,-32.7,52,-63,76,-91s52,-60,52,-60s208,722,208,722
c56,-175.3,126.3,-397.3,211,-666c84.7,-268.7,153.8,-488.2,207.5,-658.5
c53.7,-170.3,84.5,-266.8,92.5,-289.5z
M1001 80h400000v40h-400000z'/></svg>​

Będziemy po kolei wypisywać etapy konstrukcji dla każdego kąta. a) Mamy sinα=32​ Ze wzoru sinα=ryP​​ zatem przyjmijmy y=2, r=3     (Moglibyśmy wybrać inne wartości, np. y=4, r=6; y=16, r=24... itp.) KONSTRUKCJA: 1. Rysujemy okrąg o środku (0,0) i promieniu r=3. <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/137504/k3dDUh%2BSG5GJB1X%2Bfq3zOg%3D%3D_c000af82725049e4c3c2f637648b59a60d5c004b841fc3c6c5bbbf851c312450.jpg" alt="" width="295" height="288"> 2. Rysujemy prostą y=2. <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/137505/H7b9KyL0AlL2uC8Y7XxkMg%3D%3D_89b5b6a18dc0046c9bbfdc1a15275a71a8ab334382e9ca6e741c7e7298874860.jpg" alt="" width="295" height="292"> 3. Z punktu (0,0) wyprowadzamy półprostą idącą przez punkt przecięcia prostej z okręgiem - będzie to drugie ramię kąta. Są dwa takie punkty.  <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/137506/EAWqpEZgYxuQjdDQfj2Uig%3D%3D_767b3052f5744ff9ecead049516612f6cecd2659bbed82f4d624fcdbce70025b.jpg" alt="" width="296" height="259"> 4. Jako, że w zadaniu kąt α ma być w pierwszej ćwiartce to rozwiązaniem jest α1, dla którego półprosta znajduje się w pierwszej ćwiartce. <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/137507/PWEeSmIEa03t01rBNC1AcQ%3D%3D_5e07efb3aa93afd96f74e758c93fe5196ae28ebe9d29c088385a09bb3b4a8353.jpg" alt="" width="300" height="263">

Będziemy po kolei wypisywać etapy konstrukcji dla każdego kąta. a) Mamy sinα=53​ Ze wzoru sinα=ryP​​ zatem przyjmijmy y=3, r=5     (Moglibyśmy wybrać inne wartości, np. y=6, r=10; y=9, r=15... itp.) KONSTRUKCJA: 1. Rysujemy okrąg o środku (0,0) i promieniu r=5. <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/137577/0mzis97s1CeRegVCU9wt8g%3D%3D_34d3918adb7acf49b137529621f0149fd1a92aebd78cf566c72dc419cc217d31.jpg" alt="" width="644" height="641"> 2. Rysujemy prostą y=3. <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/137578/5hiom6Ppnumflsp5T2kgmQ%3D%3D_fd5392cf8e70cb6935dbba46db374f811d6dfe5eccfa8aa8d2d56dc4f54e2f9e.jpg" alt="" width="643" height="642"> 3. Z punktu (0,0) wyprowadzamy półprostą idącą przez punkt przecięcia prostej z okręgiem - będzie to drugie ramię kąta. Są dwa takie punkty.  <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/137579/MtJoc5a3Fh6dyheUARQ7vQ%3D%3D_cf83fb9427ba6647078bc4e64764c375fbadc61961977fbb0c4a70d54b7ca6b1.jpg" alt="" width="644" height="642"> 4. Rozwiązania to α1 i α2. <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/137580/j2wydObsLI8KLQeJdzIKcA%3D%3D_92ab42356398814a4b6e33dd1be710685bb382d01dde80156935ebb4c0ec8669.jpg" alt="" width="645" height="642">

Będziemy korzystać z wzorów redukcyjnych dla funkcji trygonometrycznych. a)  cos210∘=cos(180∘+30∘)=−cos30∘=−23<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​​

Będziemy korzystać z wzorów redukcyjnych i tablic dla funkcji trygonometrycznych. a)  sin100∘=sin(180∘−80∘)=sin80∘≈0,9848

a)  tg α=−0,9325,  90∘&lt;α&lt;180∘   −tg α=tg(180∘−α)= 0,9325   180∘−α=43∘   α=137∘

4.7.