Sprawdzamy który wyraz ciągu danego wzorem  $a_n=2n^2-1$  jest równy $99$

$2n^2-1=99\mid +1$  

$2n^2=100\mid :2$

$n^2=50\mid \sqrt{}$

Nie uwzględniamy rozwiązania ujemnego, ponieważ nie jest ono liczbą naturalną.

$n=\sqrt{50}$

$n=5\sqrt{2}\approx 5\cdot 1,41=7,05$   

Zbadajmy monotoniczność ciągu

$a_n=2n^2-1$  

$a_{n+1}=2{\left(n+1\right)}^2-1=2\left(n^2+2n+1\right)-1=2n^2+4n+2-1=2n^2+4n+1$  

$a_{n+1}-a_n=2n^2+4n+1-\left(2n^2-1\right)=2n^2+4n+1-2n^2+1=4n+2=$  

$=2\left(2n+1\right)>0$  - ciąg jest rosnący.

Wyrazy ciągu $\left(a_n\right)$  należące do przedziału $\left(0,5\sqrt{2}\right)$  są ujemne,

jest siedem takich wyrazów ( $a_1$ , $a_2$ , $a_3$ , $a_4$ , $a_5$ , $a_6$ , $a_7$ ).