Będziemy korzystać z  twierdzenia dotyczącego związku sinusów kątów α, β, γ z długościami odpowiednich boków trójkąta a, b, c

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }$

 

$\text{a) }\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }$  

$\frac{7}{\sin {37}^{\circ }}=\frac{b}{\sin {100}^{\circ }}$

W tym miejscu skorzystamy z wzoru redukcyjnego

$\frac{7}{\sin {37}^{\circ }}=\frac{b}{\sin \left({180}^{\circ }-{80}^{\circ }\right)}$

$\frac{7}{\sin {37}^{\circ }}=\frac{b}{\sin {80}^{\circ }}$

$\frac{7}{0,6018}=\frac{b}{0,9848}\mid \cdot 0,9848$

$11,6318\cdot 0,9848\approx b$

$b\approx 11,45\left[\text{cm}\right]$  

Z tego że suma kątów w trójkącie jest 180° mamy

$\gamma ={180}^{\circ }-\left({100}^{\circ }+{37}^{\circ }\right)={180}^{\circ }-{137}^{\circ }={43}^{\circ }$  

I znów skorzystamy z twierdzenia dotyczącego sinusów

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{c}{\sin \gamma }$  

$\frac{7}{\sin {37}^{\circ }}=\frac{c}{\sin {43}^{\circ }}\mid \cdot \sin {43}^{\circ }$  

$\frac{7}{\sin {37}^{\circ }}\cdot \sin {43}^{\circ }=c$

$c=\frac{7}{0,6018}\cdot 0,682$  

$c=11,63\cdot 0,682$  

$c\approx 7,93\left[\text{cm}\right]$  

---

$\text{b) }\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }$  

$\frac{a}{\sin {78}^{\circ }}=\frac{12,7}{\sin {45}^{\circ }}\mid \cdot \sin {78}^{\circ }$  

$a=\frac{12,7}{\sin {45}^{\circ }}\cdot \sin {78}^{\circ }$  

$a=\frac{12,7}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\cdot 0,9781$  

$a=12,7\cdot \frac{2}{2\sqrt{2}}\cdot 0,9781$  

$a=12,7\cdot \sqrt{2}\cdot 0,9781$  

$a\approx 12,7\cdot 1,4142\cdot 0,9781$  

$a\approx 17,57\left[\text{cm}\right]$  

$\gamma ={180}^{\circ }-\left({78}^{\circ }+{45}^{\circ }\right)={180}^{\circ }-{123}^{\circ }={57}^{\circ }$  

$\frac{c}{\sin \gamma }=\frac{b}{\sin \beta }$  

$\frac{c}{\sin {57}^{\circ }}=\frac{12,7}{\sin {45}^{\circ }}\mid \cdot \sin {57}^{\circ }$  

$c=\frac{12,7}{\sin {45}^{\circ }}\cdot \sin {57}^{\circ }$  

$c=\frac{12,7}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\cdot 0,8387$  

$a=12,7\cdot \frac{2}{2\sqrt{2}}\cdot 0,8387$  

$c=12,7\cdot \sqrt{2}\cdot 0,8387$  

$c\approx 12,7\cdot 1,4142\cdot 0,8387$  

$c\approx 15,06\left[\text{cm}\right]$

---

$\text{c) }\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }$  

$\frac{b}{\sin {120}^{\circ }}=\frac{11,3}{\sin {27}^{\circ }}$  

Zanim przystąpimy do obliczania skorzystajmy z wzoru redukcyjnego

$\frac{b}{\sin \left({180}^{\circ }-{60}^{\circ }\right)}=\frac{11,3}{\sin {27}^{\circ }}$  

$\frac{b}{\sin {60}^{\circ }}=\frac{11,3}{\sin {27}^{\circ }}\mid \cdot \sin {60}^{\circ }$

$b=\frac{11,3}{\sin {27}^{\circ }}\cdot \sin {60}^{\circ }$   

$b=\frac{11,3}{0,454}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$  

$b\approx 24,88988\cdot 0,866025$  

$b\approx 21,56\left[\text{cm}\right]$  

$\alpha ={180}^{\circ }-\left({120}^{\circ }+{27}^{\circ }\right)={180}^{\circ }-{147}^{\circ }={33}^{\circ }$  

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{c}{\sin \gamma }$

$\frac{a}{\sin {33}^{\circ }}=\frac{11,3}{\sin {27}^{\circ }}\mid \cdot \sin {33}^{\circ }$

$a=\frac{11,3}{\sin {27}^{\circ }}\cdot \sin {33}^{\circ }$

$a=\frac{11,3}{0,454}\cdot 0,5446$

$a\approx 24,88988\cdot 0,5446$  

$a\approx 13,56\left[\text{cm}\right]$