Dla dowolnego kąta 𝛼 prawdziwy...- Zadanie 22: Prosto do matury 3. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

A. Wiemy, że

$cos (- α) = cos α$

Wówczas mamy wzór na sinus podwojonego kąta 6𝛼.

Stwierdzenie jest prawdziwe.

B. Korzystając z własności, że

$sin (- α) = - sin α$

oraz wzoru na sinus sumy, otrzymujemy:

$sin 4 α cos 8 α - cos 4 α sin (- 8 α) = sin 4 α cos 8 α + cos 4 α sin 8 α = sin (4 α + 8 α) = sin 12 α$

Stwierdzenie jest prawdziwe.

C. Na przykład dla $α = \frac{π}{4} :$

$sin 12 α = sin (12 \cdot \frac{π}{4}) = sin 3 π = sin (2 π + π) = sin π = 0$

$sin 3 α \cdot cos 9 α + cos 5 α \cdot sin 7 α = sin (3 \cdot \frac{π}{4}) \cdot cos (9 \cdot \frac{π}{4}) + cos (5 \cdot \frac{π}{4}) \cdot sin (7 \cdot \frac{π}{4}) = sin (π - \frac{π}{4}) \cdot cos (2 π + \frac{π}{4}) + cos (π + \frac{π}{4}) \cdot sin (2 π - \frac{π}{4}) = sin (\frac{π}{4}) \cdot cos (\frac{π}{4}) - cos (\frac{π}{4}) \cdot (- sin (\frac{π}{4})) = sin (\frac{π}{4}) \cdot cos (\frac{π}{4}) + sin (\frac{π}{4}) \cdot cos (\frac{π}{4}) = 2 sin (\frac{π}{4}) \cdot cos (\frac{π}{4}) = 2 \cdot \frac{2}{2} \cdot \frac{2}{2} = 2 \cdot \frac{2}{4} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$