Rysunek pomocniczy

Najpierw policzmy długość odcinka AD z względu na bok trójkąta. Oznaczmy

$\left|CD\right|=2x,\left|DB\right|=x$  

a) Z twierdzenia cosinusów mamy

${\left|AD\right|}^2={\left(2x\right)}^2+{\left(3x\right)}^2-2\cdot 2x\cdot 3x\cdot \cos {60}^{\circ }$  

${\left|AD\right|}^2=4x^2+9x^2-12x^2\cdot \frac{1}{2}$  

${\left|AD\right|}^2=13x^2-6x^2$  

${\left|AD\right|}^2=7x^2$  

$\left|AD\right|=\sqrt{7}x$  

Zatem z twierdzenia sinusów

$\frac{\left|AD\right|}{\sin {60}^{\circ }}=\frac{2x}{\sin \sphericalangle CAD}$  

$\left|AD\right|\sin \sphericalangle CAD=2x\sin {60}^{\circ }\text{|}:\left|AD\right|$  

$\sin \sphericalangle CAD=\frac{2x\sin {60}^{\circ }}{\sqrt{7}x}$  

$\sin \sphericalangle CAD=\frac{2x\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}x}$  

$\sin \sphericalangle CAD=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$  

$\sin \sphericalangle CAD\approx 0,6547$  

$\left|\sphericalangle CAD\right|\approx {41}^{\circ }$  

$\left|\sphericalangle DAB\right|\approx {60}^{\circ }-{41}^{\circ }={19}^{\circ }$  

b) Z twierdzenia sinusów w trójkącie ABD

$2R_{ABD}=\frac{\left|AD\right|}{\sin {60}^{\circ }}$  

Z twierdzenia sinusów w trójkącie ACD

$2R_{ACD}=\frac{\left|AD\right|}{\sin {60}^{\circ }}=2R_{ABD}$  

Zatem stosunek tych promieni wynosi 1.