Aby rozwiązać zadanie najpierw policzymy pole całego trójkąta ABC. Skorzystamy ze wzoru

$P=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$

 

$P_{ABC}=\sqrt{\frac{7+9+10}{2}\left(\frac{7+9+10}{2}-7\right)\left(\frac{7+9+10}{2}-9\right)\left(\frac{7+9+10}{2}-10\right)}$

$P_{ABC}=\sqrt{13\left(13-7\right)\left(13-9\right)\left(13-10\right)}$

$P_{ABC}=\sqrt{13\cdot 6\cdot 4\cdot 3}$

$P_{ABC}=6\sqrt{26}$

Wiemy, że środkowa BD dzieli trójkąt na dwa trójkąty o takim samym polu, równym połowie pola trójkąta ABC. Zatem

$\frac{1}{2}{P}_{ABC}=P_{BCD}$  

$\frac{1}{\cancel{2}}\cdot {\cancel{6}}^3\sqrt{26}=\sqrt{\frac{9+5+\left|BD\right|}{2}\left(\frac{9+5+\left|BD\right|}{2}-9\right)\left(\frac{9+5+\left|BD\right|}{2}-5\right)\left(\frac{9+5+\left|BD\right|}{2}-\left|BD\right|\right)}{\mid }^2$

$9\cdot 26=\frac{14+\left|BD\right|}{2}\cdot \frac{-9+5+\left|BD\right|}{2}\cdot \frac{9-5+\left|BD\right|}{2}\cdot \frac{9+5-\left|BD\right|}{2}\mid \cdot 16$

$234\cdot 16=\left(14+\left|BD\right|\right)\left(\left|BD\right|-4\right)\left(4+\left|BD\right|\right)\left(14-\left|BD\right|\right)$

$3744=\left({\left|BD\right|}^2-4^2\right)\left({14}^2-{\left|BD\right|}^2\right)$

Podstawmy

$t={\left|BD\right|}^2$  

$3744=\left(t-16\right)\left(196-t\right)$

$3744=196t-t^2-3136+16t\mid -3744$

$0=-t^2+212t-6880$

${\Delta }_t={212}^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot \left(-6880\right)=44944-27520=17424$  

$\sqrt{{\Delta }_t}=132$  

$t_1=\frac{-212-132}{-2}=\frac{344}{2}=172$  

$t_2=\frac{-212+132}{-2}=\frac{80}{2}=40$  

Zatem

$\left|BD\right|=\sqrt{172}\vee \left|BD\right|=\sqrt{40}$  

$\left|BD\right|=4\sqrt{43}>5+7\vee \left|BD\right|=2\sqrt{10}$  

Sprzeczność, takie BD nie spełnia nierówności trójkąta dla ABD, więc ostatecznie

$\left|BD\right|=2\sqrt{10}$