Aby naszkicować wykres funkcji należy zbadać jej przebieg zmienności w następujący sposób: 1. Określamy dziedzinę funkcji. 2. Znajdujemy punkty przecięcia wykresu funkcji z osiami układu współrzędnych. 3. Obliczamy granice na końcach przedziałów, w których funkcja jest określona, oraz wyznaczamy asymptoty wykresu funkcji, jeśli istnieją. 4. Wyznaczamy pochodną funkcji i określamy jej dziedzinę. 5. Wyznaczamy przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji. Wszystkie otrzymane wyniki możemy zebrać w tabeli, a kolejno naszkicować wykres funkcji.

---

---

a)

$f\left(x\right)=\frac{x^2}{x^2+4}$  

1. Dziedzina funkcji f:

$x^2+4\ne 0$

$x^2\ne -4$   

$D_f=\mathbb{R}$  

---

2. Szukamy punktów przecięcia wykresu funkcji z osiami układu współrzędnych.

Punkty przecięcia z osią OX (y=0):

$0=\frac{x^2}{x^2+4}$

$x^2=0$

$x=0$

Wobec tego punkt przecięcia wykresu funkcji f z osią OX, to: 

$\left(0,0\right)$

Punkty przecięcia z osią OY (x=0):

$y=0$      

Wobec tego punkt przecięcia wykresu funkcji f z osią OY, to:

$\left(0,0\right)$  

---

3. Obliczamy granicę funkcji f w -oo i w oo:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2}{x^2+4}=$  

$=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2}{x^2\left(1+\frac{4}{x^2}\right)}=$

$=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{1+\frac{4}{x^2}}=\frac{1}{1}=1$  

$\underset{x\to \infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^2}{x^2+4}=$

$=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^2}{x^2\left(1+\frac{4}{x^2}\right)}=$  

$=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{1+\frac{4}{x^2}}=\frac{1}{1}=1$  

Wobec tego wykres funkcji f ma asymptotę poziomą y=1.

---

4. Wyznaczamy pochodną funkcji f:

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)=\frac{2x\left(x^2+4\right)-x^2\cdot 2x}{{\left(x^2+4\right)}^2}=$

$=\frac{2x^3+8x-2x^3}{{\left(x^2+4\right)}^2}=\frac{8x}{{\left(x^2+4\right)}^2}$  

i określamy jej dziedzinę:

$D_{f^{{}^{\prime }}}=D_f=\mathbb{R}$

---

5. Wyznaczamy przedziały monotoniczności oraz ekstrema funkcji f.

Wobec tego wyznaczamy miejsca zerowe funkcji f':

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)=0\text{gdy}\frac{8x}{{\left(x^2+4\right)}^2}=0$

Rozwiązujemy równanie:

$\frac{8x}{{\left(x^2+4\right)}^2}=0$

$8x=0$

$x=0$

Zauważamy, że:

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)>0\text{gdy}x\in \left(0,\infty \right)$

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)<0\text{gdy}x\in \left(-\infty ,0\right)$   

Funkcja f jest funkcją ciągłą, wobec tego:

• rośnie w przedziale:

$⟨0,\infty )$  

• maleje w przedziale:

$(-\infty ,0⟩$  

Funkcja f osiąga minumum w punkcie x₀=0 równe:

$f\left(0\right)=0$

---

Otrzymane wyniki wpisujemy do tabeli:

$x$	$\left(-\infty ,0\right)$	$0$	$\left(0,\infty \right)$
$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)$	$-$	$0$	$+$
$f\left(x\right)$	$\searrow$	$0$	$\nearrow$

Szkicujemy wykres funkcji f:

---

---

b)

$f\left(x\right)=\frac{9}{x^2-2x+4}$  

1. Dziedzina funkcji f:

$x^2-2x+4\ne 0$

$\Delta ={\left(-2\right)}^2-4\cdot 1\cdot 4=4-16=-12<0$   

$D_f=\mathbb{R}$  

---

2. Szukamy punktów przecięcia wykresu funkcji z osiami układu współrzędnych.

Punkty przecięcia z osią OX (y=0):

$0=\frac{9}{x^2-2x+4}$

$\underset{\text{sprzecznosˊcˊ}}{0=9}$

Funkcja f nie ma punktów przecięcia z osią OX. 

Punkty przecięcia z osią OY (x=0):

$y=\frac{9}{0^2-2\cdot 0+4}=\frac{9}{4}$      

Wobec tego punkt przecięcia wykresu funkcji f z osią OY, to:

$\left(0,\frac{9}{4}\right)$  

---

3. Obliczamy granicę funkcji f w -oo i w oo:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{9}{x^2-2x+4}=$  

$=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2\cdot \frac{9}{x^2}}{x^2\left(1-\frac{2}{x}+\frac{4}{x^2}\right)}=\frac{0}{1}=0$

$\underset{x\to \infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{9}{x^2-2x+4}=$

$=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^2\cdot \frac{9}{x^2}}{x^2\left(1-\frac{2}{x}+\frac{4}{x^2}\right)}=\frac{0}{1}=0$  

Wobec tego wykres funkcji f ma asymptotę poziomą y=0.

---

4. Wyznaczamy pochodną funkcji f:

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)=\frac{-9\cdot \left(2x-2\right)}{{\left(x^2-2x+4\right)}^2}=$

$=\frac{-18x+18}{{\left(x^2-2x+4\right)}^2}$  

i określamy jej dziedzinę:

$D_{f^{{}^{\prime }}}=D_f=\mathbb{R}$

---

5. Wyznaczamy przedziały monotoniczności oraz ekstrema funkcji f.

Wobec tego wyznaczamy miejsca zerowe funkcji f':

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)=0\text{gdy}\frac{-18x+18}{{\left(x^2-2x+4\right)}^2}=0$

Rozwiązujemy równanie:

$\frac{-18x+18}{{\left(x^2-2x+4\right)}^2}=0$

$-18x+18=0\mid :18$

$-x+1=0$

$x=1$  

Uwzględniając założenia z wykresu funkcji możemy odczytać, że:

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)>0\text{gdy}x\in \left(-\infty ,1\right)$

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)<0\text{gdy}x\in \left(1,\infty \right)$   

Funkcja f jest funkcją ciągłą, wobec tego:

• rośnie w przedziale:

$(-\infty ,1⟩$  

• maleje w przedziałach:

$⟨1,\infty )$  

Funkcja f osiąga maksimum w punkcie x₀=1 równe:

$f\left(1\right)=\frac{9}{3}=3$

---

Otrzymane wyniki wpisujemy do tabeli:

$x$	$\left(-\infty ,1\right)$	$1$	$\left(1,\infty \right)$
$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)$	$+$	$0$	$-$
$f\left(x\right)$	$\nearrow$	$3$	$\searrow$

Szkicujemy wykres funkcji f:

---

---

c)

$f\left(x\right)=\frac{6x}{x^2+1}$  

1. Dziedzina funkcji f:

$x^2+1\ne 0$

$x^2\ne -1$   

$D_f=\mathbb{R}$  

---

2. Szukamy punktów przecięcia wykresu funkcji z osiami układu współrzędnych.

Punkty przecięcia z osią OX (y=0):

$0=\frac{6x}{x^2+1}$

$6x=0$

$x=0$

Wobec tego punkt przecięcia wykresu funkcji f z osią OX, to: 

$\left(0,0\right)$

Punkty przecięcia z osią OY (x=0):

$y=\frac{0}{1}=0$      

Wobec tego punkt przecięcia wykresu funkcji f z osią OY, to:

$\left(0,0\right)$  

---

3. Obliczamy granicę funkcji f w -oo i w oo:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{6x}{x^2+1}=$  

$=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2\cdot \frac{6}{x}}{x^2\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}=\frac{0}{1}=0$

$\underset{x\to \infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{6x}{x^2+1}=$

$=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^2\cdot \frac{6}{x}}{x^2\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}=\frac{0}{1}=0$  

Wobec tego wykres funkcji f ma asymptotę poziomą y=0.

---

4. Wyznaczamy pochodną funkcji f:

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)=\frac{6\left(x^2+1\right)-6x\cdot 2x}{{\left(x^2+1\right)}^2}=$

$=\frac{6x^2+6-12x^2}{{\left(x^2+1\right)}^2}=\frac{-6x^2+6}{{\left(x^2+1\right)}^2}$  

i określamy jej dziedzinę:

$D_{f^{{}^{\prime }}}=D_f=\mathbb{R}$

---

5. Wyznaczamy przedziały monotoniczności oraz ekstrema funkcji f.

Wobec tego wyznaczamy miejsca zerowe funkcji f':

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)=0\text{gdy}\frac{-6x^2+6}{{\left(x^2+1\right)}^2}=0$

Rozwiązujemy równanie:

$\frac{-6x^2+6}{{\left(x^2+1\right)}^2}=0$

$-6x^2+6=0$

$6x^2=6$

$x^2=1$  

$x=1\vee x=-1$

 

Z wykresu funkcji możemy odczytać, że:

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)>0\text{gdy}x\in \left(-1,1\right)$

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)<0\text{gdy}x\in \left(-\infty ,-1\right)\cup \left(1,\infty \right)$   

Funkcja f jest funkcją ciągłą, wobec tego:

• rośnie w przedziale:

$⟨-1,1⟩$  

• maleje w przedziałach:

$(-\infty ,-1⟩\cup ⟨1,\infty )$  

Funkcja f osiąga maksimum w punkcie x₀=-1 równe:

$f\left(-1\right)=-\frac{6}{2}=-3$

Funkcja f osiąga minimum w punkcie x₀=1 równe:

$f\left(1\right)=\frac{6}{2}=3$

---

Otrzymane wyniki wpisujemy do tabeli:

$x$	$\left(-\infty ,-1\right)$	$-1$	$\left(-1,0\right)$	$0$	$\left(0,1\right)$	$1$	$\left(1,\infty \right)$
$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$	$0$	$-$
$f\left(x\right)$	$\searrow$	$-3$	$\nearrow$	$0$	$\nearrow$	$3$	$\searrow$

Szkicujemy wykres funkcji f: