a)

$f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3+\frac{3}{2}{x}^2+kx+1$  

Zauważamy, że funkcja f jest funkcja wielomianową, zatem jest ciągła.

Wyznaczamy pochodną funkcji f:

$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)=x^2+3x+k$

Ramiona paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f' są skierowane w górę.

Aby funkcja f była rosnąca, to wartości funkcji f' muszą być nieujemne.