a)

Wiemy, że okrąg jest styczny jednocześnie do prostych

$k:y=x+2\text{i}l:y=x+6$

oraz jego środek leży na prostej y=-x.

Zapisujemy równania prostych stycznych do okręgu w postaci ogólnej

$k:x-y+2=0,l:x-y+6=0$  

---

Promień okręgu, to odległość środka okręgu od punktu styczności z prostą. 

Skoro środek okręgu leży na prostej y=-x, to

$S\left(x,-x\right)$

Zatem korzystając ze wzoru na odległość punktu od prostej dostajemy

$\frac{\left|1\cdot x+\left(-1\right)\cdot \left(-x\right)+2\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-1\right)}^2}}=\frac{\left|1\cdot x+\left(-1\right)\cdot \left(-x\right)+6\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-1\right)}^2}}$   

$\frac{\left|x+x+2\right|}{\sqrt{2}}=\frac{\left|x+x+6\right|}{\sqrt{2}}\mid \cdot \sqrt{2}$  

$\left|2x+2\right|=\left|2x+6\right|$  

$2\left|x+1\right|=2\left|x+3\right|\mid :2$  

$\left|x+1\right|=\left|x+3\right|$

$x+1=x+3\vee x+1=-x-3$

$\underset{\text{sprzecznosˊcˊ}}{0=2}\vee 2x=-4\mid :2$

$x=-2$     

Zatem dostajemy

$S\left(-2,2\right)$  

---

Wyznaczamy długość promienia okręgu

$r=\frac{\left|x+x+2\right|}{\sqrt{2}}=\frac{\left|-2-2+2\right|}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$

---

Równanie okręgu

${\left(x+2\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=2$   

---

---

b)

Wiemy, że okrąg jest styczny jednocześnie do prostych

$k:y=\frac{1}{2}x+2\text{i}l:y=\frac{1}{2}x-8$

oraz jego środek leży na prostej y=-x.

Zapisujemy równania prostych stycznych do okręgu w postaci ogólnej

$k:\frac{1}{2}x-y+2=0,l:\frac{1}{2}x-y-8=0$  

---

Promień okręgu, to odległość środka okręgu od punktu styczności z prostą.

Skoro środek okręgu leży na prostej y=-x, to

$S\left(x,-x\right)$

Zatem korzystając ze wzoru na odległość punktu od prostej dostajemy

$\frac{\left|\frac{1}{2}\cdot x+\left(-1\right)\cdot \left(-x\right)+2\right|}{\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(-1\right)}^2}}=\frac{\left|\frac{1}{2}\cdot x+\left(-1\right)\cdot \left(-x\right)-8\right|}{\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(-1\right)}^2}}$   

$\frac{\left|\frac{1}{2}x+x+2\right|}{\sqrt{\frac{1}{4}+1}}=\frac{\left|\frac{1}{2}x+x-8\right|}{\sqrt{\frac{1}{4}+1}}\mid \cdot \sqrt{\frac{1}{4}+1}$  

$\left|\frac{3}{2}x+2\right|=\left|\frac{3}{2}x-8\right|$  

$\frac{3}{2}x+2=\frac{3}{2}x-8\vee \frac{3}{2}x+2=-\frac{3}{2}x+8$

$\underset{\text{sprzecznosˊcˊ}}{0=-10}\vee \frac{6}{2}x=6\mid :3$

$x=2$     

Zatem dostajemy

$S\left(2,-2\right)$  

---

Wyznaczamy długość promienia okręgu

$r=\frac{\left|\frac{1}{2}x+x+2\right|}{\sqrt{\frac{1}{4}+1}}=\frac{\left|\frac{1}{2}\cdot 2+2+2\right|}{\sqrt{\frac{5}{4}}}=\frac{5}{\frac{\sqrt{5}}{2}}=5\cdot \frac{2}{\sqrt{5}}=$

$=\frac{10}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{10\sqrt{5}}{5}=2\sqrt{5}$  

---

Równanie okręgu

${\left(x-2\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2=20$