a)

$K_1:x^2-6x+y^2+5=0$

$K_2:x^2-6x+y^2-12y+29=0$   

---

Zapiszmy równania okręgów w postaci kanonicznej

$K_1:\left(x^2-6x+9\right)+y^2+5-9=0$

${\left(x-3\right)}^2+y^2-4=0$

${\left(x-3\right)}^2+y^2=4$

$K_2:\left(x^2-6x+9\right)+\left(y^2-12y+36\right)+29-9-36=0$

${\left(x-3\right)}^2+{\left(y-6\right)}^2-16=0$

${\left(x-3\right)}^2+{\left(y-6\right)}^2=16$    

---

Zauważmy, że  

$S_1\left(3;0\right),R=2,S_2\left(3;6\right),r=4$     

 

$\left|S_1{S}_2\right|=\sqrt{{\left(3-3\right)}^2+{\left(6-0\right)}^2}=\sqrt{36}=6$

$R+r=4+2=6$

$\left|R-r\right|=\left|4-2\right|=\left|2\right|=2$

 

Zatem

$\underset{=6}{\underbrace{\left|S_1{S}_2\right|}}=\underset{=6}{\underbrace{R+r}}$

Wnioskujemy, że okręgi są styczne zewnętrznie.     

---

b)

$K_1:x^2+4x+y^2+4y+7=0$

$K_2:x^2+4x+y^2-6y-23=0$   

---

Zapiszmy równania okręgów w postaci kanonicznej

$K_1:\left(x^2+4x+4\right)+\left(y^2+4y+4\right)+7-4-4=0$

${\left(x+2\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2-1=0$

${\left(x+2\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2=1$

$K_2:\left(x^2+4x+4\right)+\left(y^2-6y+9\right)-23-4-9=0$

${\left(x+2\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2-36=0$

${\left(x+2\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=36$    

---

Zauważmy, że 

$S_1\left(-2;-2\right),R=1,S_2\left(-2;3\right),r=6$     

 

$\left|S_1{S}_2\right|=\sqrt{{\left(-2-\left(-2\right)\right)}^2+{\left(3-\left(-2\right)\right)}^2}=\sqrt{25}=5$

$R+r=1+6=7$

$\left|R-r\right|=\left|1-6\right|=\left|-5\right|=5$

 

Zatem

$\underset{=5}{\underbrace{\left|S_1{S}_2\right|}}=\underset{=5}{\underbrace{\left|R-r\right|}}$

Wnioskujemy, że okręgi są styczne wewnętrznie.     

---

c)

$K_1:x^2+4x+y^2+2y-95=0$

$K_2:x^2-2x+y^2-6y-15=0$   

---

Zapiszmy równania okręgów w postaci kanonicznej

$K_1:\left(x^2+4x+4\right)+\left(y^2+2y+1\right)-95-4-1=0$

${\left(x+2\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2-100=0$

${\left(x+2\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2=100$

$K_2:\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2-6y+9\right)-15-1-9=0$

${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2-25=0$

${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=25$    

---

Zauważmy, że 

$S_1\left(-2;-1\right),R=10,S_2\left(1;3\right),r=5$     

 

$\left|S_1{S}_2\right|=\sqrt{{\left(1-\left(-2\right)\right)}^2+{\left(3-\left(-1\right)\right)}^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$

$R+r=10+5=15$

$\left|R-r\right|=\left|10-5\right|=\left|5\right|=5$

 

Zatem

$\underset{=5}{\underbrace{\left|S_1{S}_2\right|}}=\underset{=5}{\underbrace{\left|R-r\right|}}$

Wnioskujemy, że okręgi są styczne wewnętrznie.     

---

d)

$K_1:x^2+8x+y^2-10y+5=0$

$K_2:x^2+10x+y^2+4y+13=0$   

---

Zapiszmy równania okręgów w postaci kanonicznej

$K_1:\left(x^2+8x+16\right)+\left(y^2-10y+25\right)+5-16-25=0$

${\left(x+4\right)}^2+{\left(y-5\right)}^2-36=0$

${\left(x+4\right)}^2+{\left(y-5\right)}^2=36$

$K_2:\left(x^2+10x+25\right)+\left(y^2+4y+4\right)+13-25-4=0$

${\left(x+5\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2-16=0$

${\left(x+5\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2=16$    

---

Zauważmy, że 

$S_1\left(-4;5\right),R=6,S_2\left(-5;-2\right),r=4$     

 

$\left|S_1{S}_2\right|=\sqrt{{\left(-5-\left(-4\right)\right)}^2+{\left(-2-5\right)}^2}=\sqrt{1+49}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\approx 7,071$

$R+r=6+4=10$

$\left|R-r\right|=\left|6-4\right|=\left|2\right|=2$

 

Zatem

$\underset{=2}{\underbrace{\left|R-r\right|}}<\underset{\approx 7,071}{\underbrace{\left|S_1{S}_2\right|}}<\underset{=10}{\underbrace{R+r}}$

Wnioskujemy, że okręgi przecinają się.     

---

e)

$K_1:x^2+2x+y^2-16y+16=0$

$K_2:x^2-2x+y^2-12y+33=0$   

---

Zapiszmy równania okręgów w postaci kanonicznej

$K_1:\left(x^2+2x+1\right)+\left(y^2-16y+64\right)+16-1-64=0$

${\left(x+1\right)}^2+{\left(y-8\right)}^2-49=0$

${\left(x+1\right)}^2+{\left(y-8\right)}^2=49$

$K_2:\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2-12y+36\right)+33-1-36=0$

${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-6\right)}^2-4=0$

${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-6\right)}^2=4$    

---

Zauważmy, że 

$S_1\left(-1;8\right),R=7,S_2\left(1;6\right),r=2$     

 

$\left|S_1{S}_2\right|=\sqrt{{\left(1-\left(-1\right)\right)}^2+{\left(6-8\right)}^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\approx 2,828$

$R+r=7+2=9$

$\left|R-r\right|=\left|7-2\right|=\left|5\right|=5$

 

Zatem

$\underset{\approx 2,828}{\underbrace{\left|S_1{S}_2\right|}}<\underset{=5}{\underbrace{\left|R-r\right|}}$

Wnioskujemy, że okręgi są rozłączne wewnętrznie.     

---

f)

$K_1:x^2-14x+y^2-4y+4=0$

$K_2:x^2+10x+y^2+6y+9=0$   

---

Zapiszmy równania okręgów w postaci kanonicznej

$K_1:\left(x^2-14x+49\right)+\left(y^2-4y+4\right)+4-49-4=0$

${\left(x-7\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2-49=0$

${\left(x-7\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=49$

$K_2:\left(x^2+10x+25\right)+\left(y^2+6y+9\right)+9-25-9=0$

${\left(x+5\right)}^2+{\left(y+3\right)}^2-25=0$

${\left(x+5\right)}^2+{\left(y+3\right)}^2=25$    

---

Zauważmy, że 

$S_1\left(7;2\right),R=7,S_2\left(-5;-3\right),r=5$     

 

$\left|S_1{S}_2\right|=\sqrt{{\left(-5-7\right)}^2+{\left(-3-2\right)}^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$

$R+r=7+5=12$

$\left|R-r\right|=\left|7-5\right|=\left|2\right|=2$

 

Zatem

$\underset{=13}{\underbrace{\left|S_1{S}_2\right|}}>\underset{=12}{\underbrace{R+r}}$

Wnioskujemy, że okręgi są rozłączne zewnętrznie.